3次方程式の解と係数の関係を利用して整数の組み合わせを考える(横浜国立大2017文系第2問)

$a$ を正の整数とし，$b$ を整数とする。$x$ についての方程式

$a^2x^3+abx^2-b^2x-5=0$

はことなる 3 つの実数解をもち，1 つの解が整数で，残り 2 つの解の積が整数である。$a$，$b$ の組をすべて求めよ。

3 次方程式の解と係数の関係

この問題は 3 次方程式の解と係数の関係を利用します。

ある 3 次方程式の解を $\alpha,\beta,\gamma$ とすると

$a(x-\alpha)(x-\beta)(x-\gamma)=0$

と表すことができます（これ重要）。展開すると

$a\{x^2-(\alpha+\beta)x+\alpha\beta\}(x-\gamma)=0$
$a\{x^3-\gamma x^2-(\alpha+\beta)x^2+(\alpha+\beta)\gamma x+\alpha\beta x-\alpha\beta\gamma\}=0$
$a\{x^3-(\alpha+\beta+\gamma)x^2+(\alpha\beta+\beta\gamma+\gamma\alpha)x-\alpha\beta\gamma\}=0$ ・・・①

また，$ax^3+bx^2+cx+d=0$ ・・・② として，①と②の係数を比べると

$\alpha+\beta+\gamma=-\cfrac{b}{a}$
$\alpha\beta+\beta\gamma+\gamma\alpha=\cfrac{c}{a}$
$\alpha\beta\gamma=-\cfrac{d}{a}$

これで，解と係数の関係ができあがりです。

整数の組み合わせをみつける

これを $a^2x^3+abx^2-b^2x-5=0$ に当てはめていきましょう。

$\alpha+\beta+\gamma=-\cfrac{b}{a}$
$\alpha\beta+\beta\gamma+\gamma\alpha=\cfrac{b^2}{a^2}$
$\alpha\beta\gamma=\cfrac{5}{a^2}$

ここで，整数の解を $\alpha$，残り 2 つの解を $\beta$，$\gamma$ とすると，$\beta\gamma$ は整数ということになります。

よって，$\alpha\beta\gamma=\cfrac{5}{a^2}$ から，左辺は整数×整数なので，右辺も整数であると言えます。

$a$ は正の整数だから，$\cfrac{5}{a^2}$ が整数となるのは $a=1$ のときだけです。よって，解と係数の関係は

$\alpha+\beta+\gamma=-b$
$\alpha\beta+\beta\gamma+\gamma\alpha=-b^2$
$\alpha\beta\gamma=5$

と書き換えられます。そして

$\alpha\beta\gamma=5$

という式に注目しましょう。$\alpha$ は整数，$\beta\gamma$ は整数だから，これは 整数×整数＝5 ということです。このようになる組み合わせは

$(\alpha,\beta\gamma)=(1,5),(-1,-5),(5,1),(-5,-1)$

の 4 通りです。

条件に当てはまるかどうかを確認する

あとは，それぞれの場合について，ことなる 3 つの実数解をもつ，という条件に当てはまるかどうかを考えてみましょう。

(i) $(\alpha,\beta\gamma)=(1,5)$ のとき

解と係数の関係に当てはめると

$1+\beta+\gamma=-b$
$\beta+\gamma=-b-1$

また

$\beta+5+\gamma=-b^2$
$\beta+\gamma=-b^2-5$

よって

$-b-1=-b^2-5$
$b^2-b+4=0$

これは 2 次方程式なので，解を求めてみると整数にならないことが確認できると思います。よって，不適。

(ii) $(\alpha,\beta\gamma)=(-1,-5)$ のとき

同様に，解と係数の関係に当てはめていきます。

$-1+\beta+\gamma=-b$
$\beta+\gamma=-b+1$

また

$-\beta-5-\gamma=-b^2$
$\beta+\gamma=b^2-5$

よって

$-b+1=b^2-5$
$b^2+b-6=0$
$(b+3)(b-2)=0$
$b=2,-3$

$b=2$ のとき

$a^2x^3+abx^2-b^2x-5=0$ は

$x^3+2x^2-4x-5=0$

$\alpha=-1$ より，解の一つは $-1$ です。組立除法を用いて，式を因数分解してみましょう。

$\begin{matrix}1&2&-4&-5&|\underline{-1}\\&-1&-1&5\\\hline1&-4&-5&0\end{matrix}$

よって

$(x+1)(x^2+x-5)=0$

ここで，$x^2+x-5$ がことなる 2 つの実数解をもつならば，問題文の条件である，全体としてことなる 3 つの実数解をもつ，に当てはまります。

$x^2+x-5=0$ とすると，判別式は

$D=1+4\cdot5=21>0$

よって，式はことなる 3 つの実数解を持ちます。これで，$(\alpha,\beta\gamma)=(-1,-5)$ はオッケーです。

次に，$b=-3$ のとき

$x^3-3x^2-9x-5=0$

$\begin{matrix}1&-3&-9&-5&|\underline{-1}\\&-1&4&5\\\hline1&-4&-5&0\end{matrix}$

$(x+1)(x^2-4x-5)=0$
$(x+1)(x-5)(x+1)=0$

因数分解してみると，この式は解が 2 つしかありません。よって，不適。

(iii) $(\alpha,\beta\gamma)=(5,1)$ のとき

$5+\beta+\gamma=-b$
$\beta+\gamma=-b-5$

また

$5\beta+1+5\gamma=-b^2$
$5\beta+5\gamma=-b^2-1$
$\beta+\gamma=-\cfrac{b^2}{5}-\cfrac{1}{5}$

よって

$-b-5=-\cfrac{b^2}{5}-\cfrac{1}{5}$
$-5b-25=-b^2-1$
$b^2-5b-24=0$
$(b-8)(b+3)=0$
$b=-3,8$

$b=-3$ のとき

$x^3-3x^2-9x-5=0$

$\begin{matrix}1&^3&-9&-5&|\underline{5}\\&5&10&5\\\hline1&2&1&0\end{matrix}$

$(x-5)(x^2+2x+1)=0$
$(x-5)(x+1)^2=0$

解が 2 個だから，不適。

$b=8$ のとき

$x^3+8x^2-64x-5=0$

$\begin{matrix}1&8&-64&-5&|\underline{5}\\&5&65&6\\\hline1&13&1&0\end{matrix}$

$(x-5)(x^2+13x+1)=0$

$x^2+13x+1=0$ とすると，判別式は

$D=13^2-4>0$

よって，式はことなる 3 つの実数解をもつ。

(iv) $(\alpha,\beta\gamma)=(-5,-1)$ のとき

$-5+\beta+\gamma=-b$
$\beta+\gamma=-b+5$
$-5\beta-1-5\gamma=-b^2$
$-5(\beta+\gamma)=-b^2+1$
$\beta+\gamma=\cfrac{b^2}{5}-\cfrac{1}{5}$

よって

$-b+5=\cfrac{b^2}{5}-\cfrac{1}{5}$
$-5b+25=b^2-1$
$b^2+5b-26=0$

式を満たす整数 $b$ は存在しない。

したがって

$(a,b)=(1,2),(1,8)$　（答え）