３つの数の相加相乗平均の証明のやり方(東京都立大2016文系第1問)

以下の問いに答えなさい。（東京都立大2016）

(1) 次の式を展開しなさい。

$(x+y+z)(x^2+y^2+z^2-xy-yz-zx)$

(2) $a,b,c$ を 0 以上の実数とする。次の不等式が成り立つことを示しなさい。また，等号が成り立つのはどのようなときか答えなさい。

$\cfrac{a+b+c}{3}\geqq\sqrt[3]{abc}$

複雑な式の展開

(1)から始めます。

ここは，いったん $y+z=k$ とするとうまくいきます。

$=(x+y+z)\{x^2+y^2+z^2-(y+z)x-yz\}$

$y+z=k$ として

$=(x+k)(x^2-kx+y^2+z^2-yz)$

また

$k^2=y^2+z^2+2yz$
$y^2+z^2=k^2-2yz$

よって

$=(x+k)(x^2-kx+k^2-3yz)$
$=(x+k)\{(x-k)x+k^2-3yz\}$
$=(x+k)(x-k)x+(x+k)(k^2-3yz)$
$=x^3-k^2x+k^2x-3xyz+k^3-3kyz$
$=x^3+k^3-3kyz-3xyz$
$=x^3+(y+z)^3-3(y+z)yz-3xyz$
$=x^3+y^3+3y^2z+3yz^2+z^3-3y^2z-3yz^2-3xyz$
$=x^3+y^3+z^3-3xyz$　（答え）

3つの数の相加相乗平均

(2)に進みます。

不等式の証明なので，右辺を移項して，式が 0 以上になることを示せば良さそうです。

$\cfrac{a+b+c}{3}\geqq\sqrt[3]{abc}$
$a+b+c\geqq3\sqrt[3]{abc}$

移項して

$a+b+c-3\sqrt[3]{abc}$ とする。

ここで，(1)を利用することを考えましょう。

$a=x^3$，$b=y^3$，$c=z^3$ とすると

$\sqrt[3]{abc}=\sqrt[3]{(xyz)^3}=xyz$

よって

$=x^3+y^3+z^3-3xyz$
$=(x+y+z)(x^2+y^2+z^2-xy-yz-zx)$

ここから，式が 0 以上であることを示します。

もともと，$a,b,c$ が 0 以上だから $x+y+z$ も 0 以上となります。

ここはアイデアというかこじつけが必要です。式の形から，もし $x^2-2xy+y^2$ であれば $=(x-y)^2$ となり，これは 2 乗しているので必ず 0 以上だと言えます。

$=\cfrac{1}{2}(x+y+z)(2x^2+2y^2+2z^2-2xy-2yz-2zx)$
$=\cfrac{1}{2}(x+y+z)(x^2-2xy+y^2+y^2-2yz+z^2+z^2-2zx+x^2)$
$=\cfrac{1}{2}(x+y+z)\{(x-y)^2+(y-z)^2+(z-x)^2\}\geqq0$

したがって

$\cfrac{a+b+c}{3}\geqq\sqrt[3]{abc}$

が成り立つ。

次に，等号成立の場合を考えましょう。

等号が成立するのは式が 0 になるときだから

$x+y+z=0$

または

$(x-y)^2+(y-z)^2+(z-x)^2$

のときです。

よって

等号成立は $a=b=c=0$ または $a=b=c$ のとき。まとめると，$a=b=c$ のとき。（証明終わり）