複素数を極形式にして三角関数の最大・最小を求める(東京都立大2020理学部第3問)

α=1+i2\alpha=\cfrac{1+i}{2} とする。ただし，ii は虚数単位を表し，複素数 zz と共役な複素数を zˉ\bar{z} で表す。以下の問いに答えなさい。（東京都立大2020）

(1) 複素数 zz に対し，αˉz+αzˉ\bar{\alpha}z+\alpha\bar{z} は実数になることを示しなさい。

(2) 複素数平面上で点 ww が円 ∣w∣=1|w|=1 上を動くとき，点 z=4w+3wz=4w+\cfrac{3}{w} の描く図形を求めなさい。

(3) 点 zz が(2)で求めた図形の上を動くとき，αˉz+αzˉ\bar{\alpha}z+\alpha\bar{z} の最大値と最小値を求めなさい。また，そのときの zz の値を求めなさい。

複素数を x+yi で表す

(1)から始めます。

ここは複素数を x+yix+yi と表してみましょう。

α=12(1+i)\alpha=\cfrac{1}{2}(1+i) のとき，その共役な複素数は

αˉ=12(1−i)\bar{\alpha}=\cfrac{1}{2}(1-i) となるので

αˉz+αzˉ\bar{\alpha}z+\alpha\bar{z}
=12(1−i)(x+yi)+12(1+i)(x−yi)=\cfrac{1}{2}(1-i)(x+yi)+\cfrac{1}{2}(1+i)(x-yi)
=12(x+yi−xi+y+x−yi+xi+y)=\cfrac{1}{2}(x+yi-xi+y+x-yi+xi+y)
=12(2x+2y)=\cfrac{1}{2}(2x+2y)
=x+y=x+y　・・・①

（証明終わり）

式から虚数の ii が消えたということは，この式は実数であるということです。

極形式になおす

(2)に進みます。

この問題は，実はこの辺りから複素数平面というより，媒介変数表示の設問に変わってしまいます。

∣w∣=1|w|=1 より，両辺を 2 乗して

∣w∣2=1|w|^2=1
wwˉ=1w\bar{w}=1
wˉ=1w\bar{w}=\cfrac{1}{w}

よって

z=4w+3wz=4w+\cfrac{3}{w}
=4w+3wˉ=4w+3\bar{w} ・・・②

ww を極形式で表すと

w=cos⁡θ+isin⁡θw=\cos\theta+i\sin\theta

また

wˉ=cos⁡θ−isin⁡θ\bar{w}=\cos\theta-i\sin\theta

となるので，これらを②に代入すると

z=4(cos⁡θ+isin⁡θ)+3(cos⁡θ−isin⁡θ)z=4(\cos\theta+i\sin\theta)+3(\cos\theta-i\sin\theta)
=7cos⁡θ+isin⁡θ=7\cos\theta+i\sin\theta

これ，どうなるの？
θ\theta にいろいろな値を当てはめて考えてみるといいよ。

たとえば，θ=0\theta=0 のとき，z=7z=7 となるので，平面座標では (7,0) です。θ=π2\theta=\cfrac{\pi}{2} なら，z=iz=i だから，(0,1)。θ=π\theta=\pi なら，z=−7z=-7 だから， (−7,0)(-7,0)。

こうして考えていくと，楕円ができあがります。

したがって，楕円の式は

x272+y2=1\cfrac{x^2}{7^2}+y^2=1　（答え）

三角関数の合成

(3)に進みます。

(1)を振り返ると，αˉz+αzˉ\bar{\alpha}z+\alpha\bar{z} は実数で =x+y=x+y でした。これはもともと z=x+yiz=x+yi としていたことを思い出しましょう。

また，(2)で z=7cos⁡θ+isin⁡θz=7\cos\theta+i\sin\theta となったので

x=7cos⁡θx=7\cos\theta，y=sin⁡θy=\sin\theta

となります。

話をまとめると

αˉz+αzˉ=7cos⁡θ+sin⁡θ\bar{\alpha}z+\alpha\bar{z}=7\cos\theta+\sin\theta

ということになります。

ここから，三角関数の合成を行います。

=52sin⁡(θ+t)=5\sqrt{2}\sin(\theta+t)

最大となるのは sin⁡(θ+t)=1\sin(\theta+t)=1 のとき，525\sqrt{2}

θ+t=π2\theta+t=\cfrac{\pi}{2}
θ=π2−t\theta=\cfrac{\pi}{2}-t

三角関数の合成で作った tt の値の範囲は 0<t<π20<t<\cfrac{\pi}{2} です。

単位円を描いてみると，三角比の相互の関係がつかめるでしょう。

sin⁡(π2−t)=cos⁡ t\sin\Big(\cfrac{\pi}{2}-t\Big)=\cos t
cos⁡(π2−t)=sin⁡ t\cos\Big(\cfrac{\pi}{2}-t\Big)=\sin t

となるので

z=7sin⁡ t+icos⁡ t=7⋅752+i52z=7\sin t+i\cos t=\cfrac{7\cdot7}{5\sqrt{2}}+\cfrac{i}{5\sqrt{2}}
=2(49+i)10=\cfrac{\sqrt{2}(49+i)}{10}

次に最小値を求めると

最小となるのは sin⁡(θ+t)=−1\sin(\theta+t)=-1 のとき −52-5\sqrt{2}

θ+t=3π2\theta+t=\cfrac{3\pi}{2}
θ=3π2−t\theta=\cfrac{3\pi}{2}-t

sin⁡(3π2−t)=−cos⁡ t\sin\Big(\cfrac{3\pi}{2}-t\Big)=-\cos t
cos⁡(3π2−t)=−sin⁡ t\cos\Big(\cfrac{3\pi}{2}-t\Big)=-\sin t
z=7sin⁡ t+cos⁡ tz=7\sin t+\cos t
=−7⋅752−i52=-\cfrac{7\cdot7}{5\sqrt{2}}-\cfrac{i}{5\sqrt{2}}
=−2(49+i)10=-\cfrac{\sqrt{2}(49+i)}{10}

したがって

z=2(49+i)10z=\cfrac{\sqrt{2}(49+i)}{10} のとき，最大値 525\sqrt{2}

z=−2(49+i)10z=-\cfrac{\sqrt{2}(49+i)}{10} のとき，最小値 −52-5\sqrt{2}　（答え）

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