【スマホで読む・わかりやすい】センター数学IA2012追試【解説・正解・問題】

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第4問

五つの文字 A,B,C, D ,E と三つの数字 1,2,3 を用いて

$\boxed{\text{ A1 }}$ $\boxed{\text{ B1 }}$ $\boxed{\text{ C1 }}$ $\boxed{\text{ D1 }}$ $\boxed{\text{ E1 }}$
$\boxed{\text{ A2 }}$ $\boxed{\text{ B2 }}$ $\boxed{\text{ C2 }}$ $\boxed{\text{ D2 }}$ $\boxed{\text{ E2 }}$
$\boxed{\text{ A3 }}$ $\boxed{\text{ B3 }}$ $\boxed{\text{ C3 }}$ $\boxed{\text{ D3 }}$ $\boxed{\text{ E3 }}$

と書かれた 15 枚のカードから,同時に 2 枚のカードを取り出す。このとき,カードの取り出し方は $\boxed{\text{ アイウ }}$ 通りある.その中に,カードに書かれている文字が同じである取り出し方は $\boxed{\text{ エオ }}$ 通りあり,カードに書かれている文字が異なっている取り出し方は $\boxed{\text{ カキ }}$ 通りある。

取り出した 2 枚のカードによって,得点を次のように定める。

・カードに書かれている文字が同じであるときは,2 枚のカードに書かれている数のうち大きい方を得点とする。

・カードに書かれている文字が異なるときは,2 枚のカードに書かれている数の和を得点とする。

(1) 得点が 6 点となる確率は $\cfrac{\boxed{\text{ ク }}}{\boxed{\text{ ケコ }}}$,得点が 5 点となる確率は $\cfrac{\boxed{\text{ サ }}}{\boxed{\text{ シス }}}$,得点が 4 点となる確率は $\cfrac{\boxed{\text{ セ }}}{\boxed{\text{ ソ }}}$ である。

(2) 得点が 3 点となる確率は $\cfrac{\boxed{\text{ タ }}}{\boxed{\text{ チ }}}$,得点が 2 点となる確率は $\cfrac{\boxed{\text{ ツ }}}{\boxed{\text{ テ }}}$ である。

(3) 得点の期待値は $\cfrac{\boxed{\text{ トナ }}}{\boxed{\text{ ニヌ }}}$ 点である。

解答・解説

アイウ $105$

エオ $15$

カキ $90$

ク $2$

ケコ $21$

サ $4$

シス $21$

セ $2$

ソ $7$

タ $2$

チ $7$

ツ $1$

テ $7$

トナ $80$

ニヌ $21$

同時に 2 枚のカードをカードを取り出す場合

$_{15}C_2=\cfrac{15\cdot14}{2\cdot1}=105$ 通り

文字が同じである取り出し方は,例えば A1, A2, A3 の 3 枚から 2 枚をとり出せばよい。これが A ~ E の 5 通りあるので

$_3C_2\times 5=_3C_1\times5=3\times5=15$ 通り

文字が異なっている取り出し方は,全体から文字が同じである場合を除いたものだから

$105-15=90$ 通り

次に,各得点の確率を考える。カードに書かれている文字が同じときは 2 か 3 点,カードに書かれている文字が異なるときは 2~6 点である。したがって,4~6 点のときは文字が異なるときのみを考え,2 か 3 点のときは文字が同じときと異なるときを考えるとよい。

(i) 6 点のとき

A3~E3 の 5 枚から 2 枚を取り出せばよい。

$\cfrac{_5C_2}{105}=\cfrac{2}{21}$

(ii) 5 点のとき

例えば 1 枚が A2 のとき,もう 1 枚は B3~E3 の 4 枚から 1 枚を取り出せばよい。これが A2~E2 の 5 通りあるので

$\cfrac{_5C_1\cdot_4C_1}{105}=\cfrac{20}{105}=\cfrac{4}{21}$

(iii) 4 点のとき

例えば 1 枚が A1 のとき,もう 1 枚は B3~E3 の 4 枚から 1 枚を取り出せばよい。これが A2~E2 の 5 通りあるので

$\cfrac{_5C_1\cdot_4C_1}{105}=\cfrac{4}{21}$

また A2~E2 の 5 枚から 2 枚を取り出す場合も得点が 4 点になるので

$\cfrac{_5C_2}{105}=\cfrac{10}{105}=\cfrac{2}{21}$

したがって

$\cfrac{4}{21}+\cfrac{2}{21}=\cfrac{2}{7}$

(iv) 3 点のとき

文字が同じとき,例えば 1 枚が A3 のとき,もう 1 枚は A1, A2 の 2 枚から 1 枚を取り出せばよい。これが A3~E3 の 5 通りあるので

$\cfrac{_5C_1\cdot_2C_1}{105}=\cfrac{10}{105}=\cfrac{2}{21}$

文字が異なるとき,例えば 1 枚が A1 のとき,もう 1 枚は B2~E2 の 4 枚から 1 枚を取り出せばよい。これが A1~E1 の 5 通りあるので

$\cfrac{_5C_1\cdot_4C_1}{105}=\cfrac{20}{105}=\cfrac{4}{21}$

したがって

$\cfrac{2}{21}+\cfrac{4}{21}=\cfrac{2}{7}$

(v) 2 点のとき

文字が同じとき,取り出し方は A1 と A2 ~ E1 と E2 の 5 通りである。

$\cfrac{5}{105}=\cfrac{1}{21}$

文字が異なるとき,A1~A5 の 5 枚から 2 枚を取り出せばよい。

$\cfrac{_5C_2}{105}=\cfrac{10}{105}=\cfrac{2}{21}$

したがって

$\cfrac{1}{21}+\cfrac{2}{21}=\cfrac{1}{7}$

(3)

期待値を求めると

$2\times\cfrac{1}{7}+3\times\cfrac{2}{7}+4\times\cfrac{2}{7}+5\times\cfrac{4}{21}+6\times\cfrac{2}{21}\\=\cfrac{6+18+24+20+12}{21}\\=\cfrac{80}{21}$

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