【スマホで読む・わかりやすい】センター数学IA2016本試【解説・正解・問題】
第5問 解答・解説
ア 0 イ ウ 1 2 エ オ 1 3 カ 3
キ ク 2 7 ケ 4 コサ 30 シ 2
円周角の定理より ∠DAC = ∠DBC
また,長さの等しい弦から作られる円周角の大きさは同じだから,∠DAC = ∠DBC = ∠DCA
・・・ア
このことより,BE は ∠ABC の二等分線であることが分かる。角の二等分線と辺の比より,EC : AE = 2 : 4。したがって
$\cfrac{\text{EC}}{\text{AE}}=\cfrac{2}{4}=\cfrac{1}{2}$
・・・イウ
次に,メネラウスの定理より
$\cfrac{\text{AF}}{\text{FD}}\cdot\cfrac{\text{DG}}{\text{GC}}\cdot\cfrac{\text{CE}}{\text{EA}}=1$
$\cfrac{2}{3}\cdot\cfrac{\text{DG}}{\text{GC}}\cdot\cfrac{1}{2}=1$
$\cfrac{\text{DG}}{\text{GC}}=3$
$\cfrac{\text{GC}}{\text{DG}}=\cfrac{1}{3}$
・・・エオ
(1)
チェバの定理より
$\cfrac{\text{GB}}{\text{BA}}\cdot\cfrac{\text{AF}}{\text{FD}}\cdot\cfrac{\text{DC}}{\text{CG}}=1$
$\cfrac{\text{GB}}{\text{BA}}\cdot\cfrac{2}{3}\cdot\cfrac{2}{1}=1$
$\cfrac{\text{GB}}{\text{BA}}=\cfrac{3}{4}$
よって,GB : BA = 3 : 4
したがって,
BG = $4\cdot\cfrac{3}{4}=3$
・・・カ
また,方べきの定理より
GB・GA = GC・GD
ここで
GC = $\cfrac{1}{2}$ DC
GD = $\cfrac{3}{2}$ DC
だから
$3\cdot7=\cfrac{1}{2}\text{DC}\cdot\cfrac{3}{2}\text{DC}$
$\cfrac{3}{4}\text{DC}^2=21$
$\text{DC}^2=28$
DC = $2\sqrt{7}$
・・・キク
(2)
△ABC について考えると,外接円の直径は 4 より小さくなることはない。直径を 4 とすると,AB が直径になる。
・・・ケ
このとき,∠ACB = $90\degree$ となり △ABC は,$1:2:\sqrt{3}$ の直角三角形である。したがって
∠BAC = $30\degree$
・・・コサ
また,AH を求めると
円周角の定理より ∠BAC = ∠BDC = $30\degree$
∠ACB = $60\degree$ かつ ∠ABD = ∠CBD より
∠ABD = ∠CBD = $30\degree$
円周角の定理より ∠ABD = ∠ACD = $30\degree$
∠BAC = ∠ACD となり錯角が等しいから DG // AB
よって
△ABE ∽ △CDE, △HAE ∽ △GCE
が成り立つ。
AE : CE = 2 : 1 より
DC = $\cfrac{1}{2}$ AB = $2$
DC : CG = 2 : 1 より
CG = $\cfrac{1}{2}$ DC = $1$
また,HA : GC = 2 : 1 より
HA = 2CG = $2$
・・・シ
第5問 問題文
四角形 ABCD において, AB = 4, BC = 2, DA = DC であり, 4つの頂点 A, B, C, D は同一円周上にある。対角線 AC と対角線 BD の交点を E, 線分 AD を 2 : 3 の比に内分する点を F, 直線 FE と直線 DC の交点を G とする。
参考図
次の $\boxed{\text{ア}}$ には, 下の⓪~④のうちから当てはまるものを一つ選べ。
∠ABC の大きさが変化するとき四角形 ABCD の外接円の大きさも変化することに注意すると, ∠ABC の大きさがいくらであっても, ∠DAC と大きさが等しい角は, ∠DCA と ∠DBC と $\boxed{\text{ア}}$ である。
⓪ ∠ABD ① ∠ACB ② ∠ADB
③ ∠BCG ④ ∠BEG
このことより $\cfrac{\text{EC}}{\text{AE}}=\cfrac{\boxed{\text{イ}}}{\boxed{\text{ウ}}}$ である。次に, △ACD と直線 FE に着目すると, $\cfrac{\text{GC}}{\text{DG}}=\cfrac{\boxed{\text{エ}}}{\boxed{\text{オ}}}$ である。
(1) 直線 AB が点 G を通る場合について考える。
このとき, △AGD の辺 AG 上に点 B があるので, BG = $\boxed{\text{カ}}$ である。
また, 直線 AB と直線 DC が点 G で交わり, 4点 A, B, C, D は同一円周上にあるので, DC = $\boxed{\text{キ}}\sqrt{\boxed{\text{ク}}}$ である。
(2) 四角形 ABCD の外接円の直径が最小となる場合について考える。
このとき, 四角形 ABCD の外接円の直径は $\boxed{\text{ケ}}$ であり, ∠BAC = $\boxed{\text{コサ}}\degree$ である。
また, 直線 FE と直線 AB の交点を H とするとき, $\cfrac{\text{GC}}{\text{DG}}=\cfrac{\boxed{\text{エ}}}{\boxed{\text{オ}}}$ の関係に着目して AH を求めると, AH = $\boxed{\text{シ}}$ である。
SNSでシェア