【スマホで読む・わかりやすい】センター数学IIB2013追試【解説・正解・問題】

第３問

数列 $\{ a_n \}$ を $a_1=3$ で公差が $2$ の等差数列とする。

(1)　数列 $\{ a_n \}$ の一般項は，$a_n=\boxed{\text{ ア }}n+\boxed{\text{ イ }}$ であり，

$\displaystyle\sum_{k=1}^n 3^{\boxed{\text{ア}}k+\boxed{\text{ イ }}}=\cfrac{\boxed{\text{ ウエ }}(\boxed{\text{ オ }}^n-1)}{\boxed{\text{ カ }}}$　$(n=1,2,3,\cdots)$

となる。

(2)　自然数 $n$ に対して，$b_n=-2\cos\bigg(\cfrac{a_n}{3}\pi\bigg)+2$ とし，$c_n=b_n+n$ とする。たとえば，数列 $\{ b_n \}$，$\{ c_n \}$ の初項から第 6 項までをそれぞれ求めると

$b_1=\boxed{\text{ キ }},\space b_2=1,\space b_3=\boxed{\text{ ク }}$

$b_4=\boxed{\text{ ケ }},\space b_5=1,\space b_6=1$

$c_1=\boxed{\text{ コ }},\space c_2=3,\space c_3=\boxed{\text{ サ }}$

$c_4=\boxed{\text{ シ }},\space c_5=6,\space c_6=7$

である。

$m$ が $3$ で割り切れる正の整数，つまり，$m=3,6,9,\cdots$ であるとき

$b_{m-2}=\boxed{\text{ ス }}$，$b_{m-1}=\boxed{\text{ セ }}$，$b_m=\boxed{\text{ ソ }}$

となり，$c_{m-2}$，$c_{m-1}$，$c_m$ について

$\boxed{\text{ タ }} < \boxed{\text{ チ }} < \boxed{\text{ ツ }}$

が成り立つ。$\boxed{\text{ タ }}$，$\boxed{\text{ チ }}$，$\boxed{\text{ ツ }}$ に当てはまるものを，次の ⓪～② のうちから一つずつ選べ。

⓪ $c_{m-2}$　① $c_{m-1}$　② $c_m$

$3$ で割り切れる正の整数 $m$ に対して

$\displaystyle\sum_{k=1}^m c_k=(c_1+c_2+c_3)+(c_4+c_5+c_6)+\cdots+(c_{m-2}+c_{m-1}+c_m)$

$=(3+\boxed{\text{ サ }}+\boxed{\text{ コ }})+(6+7+\boxed{\text{ シ }})+\cdots+(\boxed{\text{ タ }}+\boxed{\text{ チ }}+\boxed{\text{ ツ }})$

$\displaystyle=\sum_{k=1}^m (k+\boxed{\text{ テ }})=\cfrac{m^2+\boxed{\text{ ト }}m}{\boxed{\text{ ナ }}}$

となる。

さらに，自然数 $n$ に対して，$ d_n=\cfrac{b_n}{nc_n}$ とする。$c_n=b_n+n$ に注意して $d_n$ を変形すると，$3$ で割り切れる正の整数 $m$ に対して

$\sum_{k=1}^m d_k=\sum_{k=1}^m \bigg(\cfrac{\boxed{\text{ ニ }}}{k}-\cfrac{\boxed{\text{ ヌ }}}{c_k}\bigg)$

$=\sum_{k=1}^m \cfrac{\boxed{\text{ ニ }}}{k}-\sum_{k=1}^m \cfrac{\boxed{\text{ ヌ }}}{k+\boxed{\text{ ネ }}}$

$=\bigg(1+\cfrac{1}{\boxed{\text{ ノ }}}\bigg)-\bigg(\cfrac{1}{m+1}+\cfrac{1}{m+\boxed{\text{ ハ }}}\bigg)$

$=\cfrac{m(\boxed{\text{ ヒ }}m+\boxed{\text{ フ }})}{\boxed{\text{ ヘ }}(m+1)(m+\boxed{\text{ ハ }})}$

が成り立つ。

解答・解説

ア,イ $2,1$　ウエ,オ,カ $27,9,8$

キ,ク,ケ $4,1,4$　コ,サ,シ $5,4,8$

ス,セ,ソ $4,1,1$　タ,チ,ツ $1,2,0$

テ $2$　ト,ナ $5,2$　ニ,ヌ $1,1$

ネ $2$　ノ,ハ $2,2$　ヒ,フ,ヘ $3,5,2$

(1)

等差数列の一般項の公式を用いて

$a_n=3+(n-1)\cdot2$

$=2n+1$

次に 数列 $3^{2n+1}$ の和を求める。式を等比数列の一般項 $ar^{n-1}$ の形に変形するとよい。

$3^{2n+1}=3\cdot3^{2k}$

$=3\cdot9^k$

$=27\cdot9^{k-1}$

等比数列の和の公式を用いて

$\displaystyle\sum_{k=1}^n 3^{2k+1}=\cfrac{27(9^n-1)}{9-1}$

$=\cfrac{27(9^n-1)}{8}$

(2)

$b_n=-2\cos\bigg(\cfrac{a_n}{3}\pi\bigg)+2$ より

$b_n=-2\cos\bigg(\cfrac{2n+1}{3}\pi\bigg)+2$

$b_1=-2\cos\pi+2=-2(-1)+2=4$

$b_3=-2\cos\cfrac{7}{3}\pi+2$

ここで，$\cos\cfrac{7}{3}\pi=\cos\bigg(2\pi+\cfrac{1}{3}\pi\bigg)=\cos\cfrac{1}{3}\pi$ であることに注意して

$b_3=-2\cos\cfrac{1}{3}\pi+2=-2\cdot\cfrac{1}{2}+2=1$

$b_4=-2\cos3\pi+2=-2(-1)+2=4$

次に $c_n=b_n+n$ より

$c_1=b_1+1=5$

$c_3=b_3+3=4$

$c_4=b_4+4=8$

また $m=3k$ とおくと $b_{m-2}=b_{3k-2}$ となるので

$b_{3k-2}=-2\cos\bigg(\cfrac{2(3k-2)+1}{3}\pi\bigg)+2$

$=-2\cos\bigg(\cfrac{6k-3}{3}\pi\bigg)+2$

$=-2\cos(2k\pi-\pi)+2$

$=-2\cos\pi+2$

$=-2(-1)+2$

$=4$

$b_{m-1}=b_{3k-1}$ とおいて

$b_{3k-1}=-2\cos\bigg(\cfrac{2(3k-1)+1}{3}\pi\bigg)+2$

$=-2\cos\bigg(\cfrac{6k-1}{3}\pi\bigg)+2$

$=-2\cos\bigg(2k\pi-\cfrac{\pi}{3}\bigg)+2$

$=-2\cos\cfrac{5}{3}\pi+2$

$=-2\cdot\cfrac{1}{2}+2=1$

$b_m=b_{3k}$ とおいて

$b_{3k}=-2\cos\bigg(\cfrac{2\cdot3k+1}{3}\pi\bigg)+2$

$=-2\cos\bigg(2k\pi+\cfrac{\pi}{3}\bigg)+2$

$=-2\cos\cfrac{\pi}{3}+2$

$=-2\cdot\cfrac{1}{2}+2=1$

$c_{m-2}$，$c_{m-1}$，$c_m$ の大小を比べると

$c_{m-2}=b_{m-2}+m-2=4+m-2=m+2$

$c_{m-1}=b_{m-1}+m-1=1+m-1=m$

$c_m=b_m+m=m+1$

したがって

$c_{m-1} < c_m < c_{m-2}$

次に $\displaystyle\sum_{k=1}^m c_k=(3+4+5)+(6+7+8)+\cdots+(c_{m-2}+c_{m-1}+c_m)$ を考えると

数列は初項 3，公差 1 の等差数列である。よって

$\displaystyle \sum_{k=1}^m k+2$

と表すことができる。$\sum$ の公式を用いて

$\displaystyle \sum_{k=1}^m k+2=\frac{1}{2}m(m+1)+2m$

$=\cfrac{m^2+m+4m}{2}=\cfrac{m^2+5m}{2}$

さらに $d_n$ を求めると，$c_n=b_n+n$ を移項して $b_n=c_n-n$ となるので

$d_n=\cfrac{c_n-n}{nc_n}$

ここで，例えば $\cfrac{1}{3}-\cfrac{1}{5}=\cfrac{5-3}{3\cdot5}$ となることから

$=\cfrac{1}{n}-\cfrac{1}{c_n}$

と変形できる。よって

$\displaystyle\sum_{k-1}^m d_k=\sum_{k=1}^m\bigg(\cfrac{1}{k}-\cfrac{1}{c_k}\bigg)$

$\displaystyle=\sum_{k=1}^m\cfrac{1}{k}-\sum_{k=1}^m\cfrac{1}{k+2}$

$=\bigg(\cfrac{1}{1}+\cfrac{1}{2}+\cfrac{1}{3}+\cdots+\cfrac{1}{m-1}+\cfrac{1}{m}\bigg)-\bigg(\cfrac{1}{3}+\cfrac{1}{4}+\cfrac{1}{5}+\cdots+\cfrac{1}{m+1}+\cfrac{1}{m+2}\bigg)$

$=\bigg(1+\cfrac{1}{2}\bigg)-\bigg(\cfrac{1}{m+1}+\cfrac{1}{m+2}\bigg)$

$=\cfrac{3}{2}-\cfrac{1}{m+1}-\cfrac{1}{m+2}$

$=\cfrac{3(m+1)(m+2)-2(m+2)-2(m+1)}{2(m+1)(m+2)}$

$=\cfrac{3m^2+9m+6-2m-4-2m-2}{2(m+1)(m+2)}$

$=\cfrac{3m^2+5m}{2(m+1)(m+2)}$

$=\cfrac{m(3m+5)}{2(m+1)(m+2)}$