【スマホで読む・わかりやすい】センター数学IIB2015本試【解説・正解・問題】

第3問　解答・解説

ア,イ,ウ,エ 4,8,6,2

オ 0 または 3　カ 8　キ 7

ク,ケ 3,2　コ,サ 3,2　シ,ス 1,2

セ,ソ 1,2　タ,チ 6,6　ツ,テ 4,4

ト,ナ 2,2　ニ,ヌネ 8,13

(1)

$a_1=2,a_2=4,a_3=8,a_4=6,a_5=2$

・・・アイウエ

したがって，$a_1=a_5=2$ だから，$a_{5n}=a_n$ または $a_{n+4}=a_n$ であることが分かる。

・・・オ

(2)

$b_{n+1}=\cfrac{a_nb_n}{4}$ を

$b_{n+1}=\cfrac{1}{2^2}a_nb_n$ として

$b_{n+2}=\cfrac{1}{2^2}a_{n+1}b_{n+1}$

$=\cfrac{1}{2^2}a_{n+1}\cfrac{1}{2^2}a_nb_n$

$=\cfrac{1}{2^4}a_{n+1}a_nb_n$

$b_{n+3}=\cfrac{1}{2^2}a_{n+2}b_{n+2}$

$=\cfrac{1}{2^2}a_{n+2}\cdot\cfrac{1}{2^4}a_{n+1}a_nb_n$

$=\cfrac{1}{2^6}a_{n+2}a_{n+1}a_nb_n$

$b_{n+4}=\cfrac{1}{2^2}a_{n+3}b_{n+3}$

$=\cfrac{1}{2^2}a_{n+3}\cdot\cfrac{1}{2^6}a_{n+2}a_{n+1}a_nb_n$

$=\cfrac{a_{n+3}a_{n+2}a_{n+1}a_n}{2^8}b_n$

・・・カ

また，すべての自然数 $n$ に対して，数列 $\{a_n\}$ は 2, 4, 8, 6, $\cdots$ を繰り返すことは明らかなので

$a_{n+3}a_{n+2}a_{n+1}a_n=6\cdot8\cdot4\cdot2=3\cdot2^7$

・・・キ

したがって

$b_{n+4}=\cfrac{3\cdot2^7}{2^8}b_n=\cfrac{3}{2}b_n$

・・・クケ

ここで，$n=4k$ とおくと

$b_{4k+4}=\cfrac{3}{2}b_{4k}$

ここから，数を一つずつ減らしていくと

$b_{4k+3}=\cfrac{3}{2}b_{4k-1}$

$b_{4k+2}=\cfrac{3}{2}b_{4k-2}$

$b_{4k+1}=\cfrac{3}{2}b_{4k-3}$

となる。それぞれの式を書き換えると

$b_{4(k+1)}=\cfrac{3}{2}b_{4k}$

$b_{4(k+1)-1}=\cfrac{3}{2}b_{4k-1}$

$b_{4(k+1)-2}=\cfrac{3}{2}b_{4k-2}$

$b_{4(k+1)-3}=\cfrac{3}{2}b_{4k-3}$

それぞれの数列の一般項を求めると

(i) $b_{4(k+1)-3}=\cfrac{3}{2}b_{4k-3}$

$b_{4k-3}$ は $k=1$ のとき，$b_1=1$ だから，初項 $1$,
公比 $\cfrac{3}{2}$ の等比数列である。一般項は

$b_{4k-3}=\bigg(\cfrac{3}{2}\bigg)^{k-1}$

・・・コサ

(ii) $b_{4(k+1)-2}=\cfrac{3}{2}b_{4k-2}$

$b_{4k-2}$ は $k=1$ のとき，$b_2=\cfrac{a_1b_1}{4}=\cfrac{2\cdot1}{4}=\cfrac{1}{2}$

一般項は $b_{4k-2}=\cfrac{1}{2}\bigg(\cfrac{3}{2}\bigg)^{k-1}$

・・・シス

(iii) $b_{4(k+1)-1}=\cfrac{3}{2}b_{4k-1}$

$b_{4k-1}$ は $k=1$ のとき，$b_3=\cfrac{a_2b_2}{4}=\cfrac{4\cdot\cfrac{1}{2}}{4}=\cfrac{1}{2}$

一般項は　$b_{4k-1}=\cfrac{1}{2}\bigg(\cfrac{3}{2}\bigg)^{k-1}$

・・・セソ

(iv) $b_{4(k+1)}=\cfrac{3}{2}b_{4k}$

$b_{4k}$ は $k=1$ のとき，$b_4=\cfrac{a_3b_3}{4}=\cfrac{8\cdot\cfrac{1}{2}}{4}=1$

一般項は $b_{4k}=\bigg(\cfrac{3}{2}\bigg)^{k-1}$

(3)

$\displaystyle S_n=\sum_{j=1}^n b_j$ より

$\displaystyle S_{4m}=\sum_{j=1}^{4m} b_j$

$=b_1+b_2+b_3+b_4+\cdots+b_{4m}$

$=b_{4\cdot1-3}+b_{4\cdot1-2}+b_{4\cdot1-1}+b_4+\cdots+b_{4m-3}+b_{4m-2}+b_{4m-1}+b_4m$

$=(b_{4\cdot1-3}+\cdots+b_{4m-3})+(b_{4\cdot1-2}+\cdots+b_{4m-2})+(b_{4\cdot1-1}+\cdots+b_{4m-1})+(b_{4\cdot1}+\cdots+b_{4m})$

(2)で求めた等比数列の一般項と，等比数列の和の公式
$\cfrac{a(r^n-1)}{r-1}$ を用いて

$=\cfrac{\bigg(\cfrac{3}{2}\bigg)^m-1+\cfrac{1}{2}\bigg\{\bigg(\cfrac{3}{2}\bigg)^m-1\bigg\}+\cfrac{1}{2}\bigg\{\bigg(\cfrac{3}{2}\bigg)^m-1\bigg\}+\bigg(\cfrac{3}{2}\bigg)^m-1}{\cfrac{3}{2}-1}$

$=\cfrac{\bigg\{\bigg(\cfrac{3}{2}\bigg)^m-1\bigg\}\bigg(1+\cfrac{1}{2}+\cfrac{1}{2}+1\bigg)}{\cfrac{1}{2}}$

$=6\bigg\{\bigg(\cfrac{3}{2}\bigg)^m-1\bigg\}$

$=6\bigg(\cfrac{3}{2}\bigg)^m-6$

・・・タチ

(4)

$b_{4k-3}b_{4k-2}b_{4k-1}b_4k=\bigg(\cfrac{3}{2}\bigg)^{k-1}\cdot\cfrac{1}{2}\bigg(\cfrac{3}{2}\bigg)^{k-1}\cdot\cfrac{1}{2}\bigg(\cfrac{3}{2}\bigg)^{k-1}\cdot\bigg(\cfrac{3}{2}\bigg)^{k-1}$

$=\cfrac{1}{4}\bigg\{\bigg(\cfrac{3}{2}\bigg)^{k-1}\bigg\}^4$

$=\cfrac{1}{4}\bigg(\cfrac{3}{2}\bigg)^{4(k-1)}$

・・・ツテ

これを用いて

$T_{4m}=b_1b_2b_3b_4\cdots b_{4m-3}b_{4m-2}b_{4m-1}b_{4m}$

$=\cfrac{1}{4}\bigg(\cfrac{3}{2}\bigg)^{4(1-1)}\cdot\cfrac{1}{4}\bigg(\cfrac{3}{2}\bigg)^{4(2-1)}\cdots\cfrac{1}{4}\bigg(\cfrac{3}{2}\bigg)^{4(m-1)}$

$=\bigg(\cfrac{1}{4}\bigg)^m\bigg(\cfrac{3}{2}\bigg)^{4(1-1)+4(2-1)+\cdots+4(m-1)}$

ここで

$\displaystyle4(1-1)+4(2-1)+\cdots+4(m-1)=\sum_{k=1}^m 4k-4$

$=4\cdot\cfrac{1}{2}m(m+1)-4m$

$=2m^2+2m-4m$

$=2m^2-4m$

したがって

$T_{4m}=\cfrac{1}{4^m}\bigg(\cfrac{3}{2}\bigg)^{2m^2-2m}$

・・・トナ

また

$T_{10}=T_{4\cdot2}b_{4\cdot3-3}b_{4\cdot3-2}$

$=\cfrac{1}{4^2}\bigg(\cfrac{3}{2}\bigg)^{2\cdot2^2-2\cdot2}\bigg(\cfrac{3}{2}\bigg)^{3-1}\cdot\cfrac{1}{2}\bigg(\cfrac{3}{2}\bigg)^{3-1}$

$=\cfrac{1}{32}\bigg(\cfrac{3}{2}\bigg)^{4+2+2}$

$=\cfrac{1}{2^5}\bigg(\cfrac{3}{2}\bigg)^8$

$=\cfrac{3^8}{2^{13}}$

・・・ニヌネ

第３問　問題文

自然数 $n$ に対し，$2^n$ の一の位の数を $a_n$ とする。また，数列 $\{b_n\}$ は

$b_1=1$，$b_{n+1}=\cfrac{a_n b_n}{4}$　$(n=1,2,3,\cdots)\cdots$①

を満たすとする。

(1)　$a_1=2$，$a_2=\boxed{\text{ ア }}$，$a_3=\boxed{\text{ イ }}$，$a_4=\boxed{\text{ ウ }}$，$a_5=\boxed{\text{ エ }}$ である。このことから，すべての自然数 $n$ に対して，$a_{\boxed{\text{オ}}}=a_n$ となることがわかる。$\boxed{\text{ オ }}$ に当てはまるものを，次の⓪～④のうちから一つ選べ。

⓪ $5n$　① $4n+1$　② $n+3$

③ $n+4$　④ $n+5$

(2)　数列 $\{b_n\}$ の一般項を求めよう。①を繰り返し用いることにより

$b_{n+4}=\cfrac{a_{n+3} a_{n+2} a_{n+1} a_n}{2^{\boxed{\text{カ}}}}b_n$　$(n=1,2,3,\cdots)$

が成り立つことがわかる。ここで，$a_{n+3} a_{n+2} a_{n+1} a_n =3\cdot 2^{\boxed{\text{キ}}}$ であることから，$b_{n+4}=\cfrac{\boxed{\text{ ク }}}{\boxed{\text{ ケ }}}b_n$ が成り立つ。このことから，自然数 $k$ に対して

$b_{4k-3}=\bigg(\cfrac{\boxed{\text{ コ }}}{\boxed{\text{ サ }}}\bigg)^{k-1}$，$b_{4k-2}=\cfrac{\boxed{\text{ シ }}}{\boxed{\text{ ス }}}\bigg(\cfrac{\boxed{\text{ コ }}}{\boxed{\text{ サ }}}\bigg)^{k-1}$

$b_{4k-1}=\cfrac{\boxed{\text{ セ }}}{\boxed{\text{ ソ }}}\bigg(\cfrac{\boxed{\text{ コ }}}{\boxed{\text{ サ }}}\bigg)^{k-1}$，$b_{4k}=\bigg(\cfrac{\boxed{\text{ コ }}}{\boxed{\text{ サ }}}\bigg)^{k-1}$

である。

(3)　$\displaystyle S_n=\sum_{j=1}^n b_j$ とおく。自然数 $m$ に対して

$S_{4m}=\boxed{\text{ タ }}\bigg(\cfrac{\boxed{\text{ コ }}}{\boxed{\text{ サ }}}\bigg)^m-\boxed{\text{ チ }}$

である。

(4)　積 $b_1 b_2\cdots b_n$ を $T_n$ とおく。自然数 $k$ に対して

$b_{4k-3} b_{4k-2} b_{4k-1} b_{4k}=\cfrac{1}{\boxed{\text{ ツ }}}\bigg(\cfrac{\boxed{\text{ コ }}}{\boxed{\text{ サ }}}\bigg)^{\boxed{\text{テ}}(k-1)}$

であることから，自然数 $m$ に対して

$T_{4m}=\cfrac{1}{\boxed{\text{ ツ }}^m}\bigg(\cfrac{\boxed{\text{ コ }}}{\boxed{\text{ サ }}}\bigg)^{\boxed{\text{ト}}m^2-\boxed{\text{ナ}}m}$

である。また，$T_{10}$ を計算すると，$T_{10}=\cfrac{3^{\boxed{\text{ニ}}}}{2^{\boxed{\text{ヌネ}}}}$ である。