【スマホで読む・わかりやすい】センター数学IIB2015追試【解説・正解・問題】

1 2 3 4

第3問 解答・解説

アイ 36 ウエ 28 オ 4

カ,キ,クケ 2,2,40

コ 7 サシ 44 ス,セ 3,4

ソ,タ 3,4 チ,ツ 2,3

テト 60 ナニ 58 ヌ 2

ネノ,ハ,ヒ 29,2,1

(1)

$a_2=|4\cdot1-a_1|+2a_1$

$=|4+40|+2\cdot(-40)$

$=44-80=-36$

・・・アイ

$a_3=|4\cdot2-a_2|+2a_2$

$=|8+36|+2\cdot(-36)$

$=44-72=-28$

・・・ウエ

$a_n\leqq4n\cdots$② のとき,①の $4n-a_n$ は正の値となるので,そのまま絶対値を外すことができる。よって①は

$a_{n+1}=4n-a_n+2a_n$

$=4n+a_n$

$a_{n+1}-a_n=4n$

・・・オ

よって,$a_n$ は階差数列だから,階差数列の一般項の公式 $\displaystyle a_n=a_1+\sum_{k=1}^{n-1}a_k$ を用いて

$\displaystyle a_n=-40+\sum_{k=1}^{n-1} 4k$

$=-40+4\cdot\cfrac{1}{2}(n-1)n$

$=2n^2-2n-40\cdots\cdots$③

・・・カキクケ

ここで $2n^2-2n-40\gt4n$ とおくと

$2n^2-6n-40\gt0$

$n^2-3n-20\gt0$

$n(n-3)\gt20$

$n$ にさまざまな数を当てはめてみると,式を満たす最小の自然数 $n$ は $7$ であることが分かる。

・・・コ

また

$a_7=2\cdot7^2-2\cdot7-40=44$

・・・サシ

(2)

$a_n\gt 4n\cdots\cdots$④

であることを数学的帰納法により確かめる。

[I] $n=7$ のとき,$a_7=44$,$4\cdot7=28$ であるので,④が成り立つ。

[II] $k\geqq7$ として,$n=k$ のとき④が成り立つと仮定する。$a_n\gt4n$ より,①の $4k-a_k$ は負の値をとる。よって,符号を入れ替えて絶対値の記号を外せばよい。

$a_{k+1}=-4k+a_k+2a_k$

$a_{k+1}=3a_k-4k$

・・・スセ

仮定 $a_n\gt4n$ より

$3a_k\gt12k$

$3a_k-4k\gt 12k-4k$

$a_{k+1}\gt8k$

また,$8k\gt4(k+1)$ であるので,$a_{k+1}\gt4(k+1)$ となり,$n=k+1$ のときにも④が成り立つ。

[I],[II] により,$n\geqq7$ のとき,④が成り立つ。

【補足】数列$\{a_n\}$ の一般項を求めるとき,絶対値の処理が問題となる。ここでは数学的帰納法を用いることで,$n\lt7$ のときは絶対値をそのまま外し,$n\geqq7$ のときは絶対値の符号を入れ替えて外せばよいことを示している。

したがって,①,④により

$a_{n+1}=3a_n-4n$ $(n\geqq7)\cdots\cdots$⑤

$b_n=a_{n+1}-a_n$ とおくと,⑤より

$b_{n+1}=a_{n+2}-a_{n+1}$

$=3a_{n+1}-4(n+1)-3a_n+4n$

$=3(a_{n+1}-a_n)-4$

$=3b_n-4$

・・・ソタ

ここで,$\alpha=3\alpha-4$ とおくと,$\alpha=2$

よって

$b_{n+1}=3b_n-4$

$\alpha=3\alpha-4$

式を引くと

$b_{n+1}-\alpha=3(b_n-\alpha)$

$b_{n+1}-2=3(b_n-2)$

・・・チツ

また,$b_7$ を求めると,$b_7=a_8-a_7$ である。$a_8$ を求めると

$a_8=|4\cdot7-a_7|+2a_7$

$=|28-44|+2\cdot44$

$=16+88=104$

よって

$b_7=104-44=60$

・・・テト

ここで,$b_n-2=c_n$ とおくと

$c_{n+1}=3c_n$

よって,数列 $\{c_n\}$ は公比 $3$ の等比数列である。これより一般項を求めるが,$n\geqq7$ より初項は $c_7$ であるため,公比をかける回数を調節して

$c_n=c_7 3^{n-7}$

$b_n-2=(b_7-2)3^{n-7}$

$b_n-2=(60-2)\cdot3^{n-7}$

$b_n=58\cdot3^{n-7}+2$

・・・ナニ

⑤より

$a_{n+1}-a_n=2a_n-4n$

$b_n=2a_n-4n$

・・・ヌ

$2a_n=b_n+4n$

$a_n=\cfrac{1}{2}(b_n+4n)$

$=\cfrac{1}{2}(58\cdot3^{n-7}+2+4n)$

$=29\cdot3^{n-7}+2n+1$

・・・ネノハヒ

第3問 問題文

数列 $\{a_n\}$ は

$a_1=-40$,$a_{n+1}=|4n-a_n|+2a_n$ $(n=1,2,3,\cdots)\cdots$①

を満たしているとする。$\{a_n\}$ の一般項を求めよう。

(1) $a_2=-\boxed{\text{ アイ }}$,$a_3=-\boxed{\text{ ウエ }}$ であるので,最初の 3 項については

$a_n \leqq 4n\cdots$②

が成り立っている。いま,初項から第 $m$ 項まで②が成り立っているとすると,$n=1,2,\cdots,m$ に対して,① により

$a_n+1-a_n=\boxed{\text{ オ }}\space n$

を満たす。よって,$n=1,2,\cdots,m+1$ に対して

$a_n=\boxed{\text{ カ }}\space n^2-\boxed{\text{ キ }}\space n-\boxed{\text{ クケ }}\cdots$③

と表される。ここで

$\boxed{\text{ カ }}\space n^2-\boxed{\text{ キ }}\space n-\boxed{\text{ クケ }} > 4n$

を満たす最小の自然数 $n$ は $\boxed{\text{ コ }}$ であるので,$n=1,2,\cdots,\boxed{\text{ コ }}$ のとき,$a_n$ は③で定まる。また,$a_{\boxed{\text{ コ }}} = \boxed{\text{ サシ }}$ である。

(2) 以下,$n \geqq \boxed{\text{ コ }}$ のとき,数列 $\{a_n\}$ の一般項を求めよう。まず,このとき

$a_n > 4n \cdots$④

であることを数学的帰納法により確かめる。

[I] $n=\boxed{\text{ コ }}$ のとき,$a_{\boxed{\text{ コ }}}=\boxed{\text{ サシ }}$ であるので,④が成り立つ。

[II] $k \geqq \boxed{\text{ コ }}$ として,$n=k$ のとき④が成り立つと仮定する。①により $a_{k+1}=\boxed{\text{ ス }}\space a_k-\boxed{\text{ セ }}\space k$ であるので,$a_k+1 > 8k$ となる。また,$8k > 4(k+1)$ であるので,$n=k+1$ のときにも④が成り立つ。

[I],[II]により,$n\geqq \boxed{\text{ コ }}$ のとき,④が成り立つ。

したがって,①,④により

$a_{n+1}=\boxed{\text{ ス }}a_n-\boxed{\text{ セ }}\space n$ $(n\leqq\boxed{\text{ コ }})\cdots$⑤

である。$b_n=a_{n+1}-a_n$ とおくと,⑤により,$b_n$ と $b_{n+1}$ は関係式

$b_{n+1}=\boxed{\text{ ソ }}\space b_n-\boxed{\text{ タ }}$ $(n\geqq\boxed{\text{ コ }})$

を満たし,この関係式は $b_{n+1}-\boxed{\text{ チ }}=\boxed{\text{ ツ }}(b_n-\boxed{\text{ チ }})$ と変形できる。$b_{\boxed{\text{コ}}}=\boxed{\text{ テト }}$ であるので

$b_n=\boxed{\text{ ナニ }}\cdots\boxed{\text{ ツ }}^{n-\boxed{\text{コ}}}+\boxed{\text{ チ }}$

である。⑤から,$b_n=\boxed{\text{ ヌ }}\space a_n-\boxed{\text{ セ }}\space n$ なので,$n \geqq \boxed{\text{ コ }}$ のとき

$a_n=\cfrac{1}{\boxed{\text{ ヌ }}}(b_n+\boxed{\text{ セ }}\space n)$

$=\boxed{\text{ ネノ }}\cdot\boxed{\text{ ツ }}^{n-\boxed{\text{コ}}}+\boxed{\text{ ハ }}\space n+\boxed{\text{ ヒ }}$

である。

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