【数III複素数平面】平均値の定理が成り立つ条件・成り立たない条件(九州大2021理系第4問)

自然数 $n$ と実数 $a_0,a_1,a_2,\cdots\cdots,a_n(a_n\not=0)$ に対して，2 つの整式

$\displaystyle f(x)=\sum_{k=0}^n a_kx^k=a_nx^n+a_{n-1}x^{n-1}+\cdots\cdots+a_1x+a_0$

$\displaystyle f'(x)=\sum_{k=1}^n ka_kx^{k-1}=na_nx^{n-1}+(n-1)a_{n-1}x^{n-2}+\cdots\cdots+a_1$

を考える。$\alpha$，$\beta$ を異なる複素数とする。複素数平面上の 2 点 $\alpha,\beta$ を結ぶ線分上にある点 $\gamma$ で

$\cfrac{f(\beta)-f(\alpha)}{\beta-\alpha}=f'(\gamma)$

をみたすものが存在するとき，

$\alpha,\beta,f(x)$ は平均値の性質を持つ

ということにする。以下の問いに答えよ。ただし，$i$ は虚数単位とする。(九州大2021)

(1) $n=2$ のとき，どのような $\alpha,\beta,f(x)$ も平均値の性質をもつことを示せ。

(2) $\alpha=1-i,\beta=1+i,f(x)=x^3+ax^2+bx+c$ が平均値の性質をもつための，実数 $a,b,c$ に関する必要十分条件を求めよ。

(3) $\alpha=\cfrac{1-i}{\sqrt{2}},\beta=\cfrac{1+i}{\sqrt{2}},f(x)=x^7$ は平均値の性質をもたないことを示せ。

条件を満たすγを考える

(1)から考えていきます。

$n=2$ のとき

$f(x)=a_2x^2+a_1x+a_0$ ・・・①
$f'(x)=2a_2x+a_1$ ・・・②

となるので，①より

$\cfrac{f(\beta)-f(\alpha)}{\beta-\alpha}$
$=\cfrac{a_2\beta^2+a_1\beta+a_0-a_2\alpha^2-a_1\alpha-a_0}{\beta-\alpha}$
$=\cfrac{a_2(\beta^2-\alpha^2)+a_1(\beta-\alpha)}{\beta-\alpha}$
$=\cfrac{a_2(\beta+\alpha)(\beta-\alpha)+a_1(\beta-\alpha)}{\beta-\alpha}$
$=a_2(\alpha+\beta)+a_1$ ・・・③

また，②より

$f'(\gamma)=2a_2\gamma+a_1$ ・・・④

③＝④が成り立つとき，平均値の性質が成り立ちます。

ということは，$\alpha+\beta=2\gamma$ が成り立つかどうかを考えなければなりません。

ここで，$\gamma$ が $\alpha,\beta$ を結ぶ線分上にあるという条件から $\gamma$ のグラフ上の位置を考えてみます。

グラフ上に点 D$(\alpha+\beta)$ をおくと，四角形 OADB は平行四辺形となります。

このとき，線分 AB の中点を C$(\gamma)$ とすると，点 C は線分 OD の中点です。

よって

$\gamma=\cfrac{\alpha+\beta}{2}$
$\alpha+\beta=2\gamma$

となります。つまり，C($\gamma$) が AB の中点であれば，平均値の性質が成り立つということです。

よって

$\cfrac{f(\beta)-f(\alpha)}{\beta-\alpha}=f'(\gamma)$

が成り立つ。

したがって，$n=2$ のとき，どのような $\alpha,\beta,f(x)$ も平均値の性質を持つ。（証明終わり）

平均値の性質が成り立つ関数の条件

(2)に進みます。

$\alpha=1-i,\beta=1+i,f(x)=x^3+ax^2+bx+c$ として

$\cfrac{f(\beta)-f(\alpha)}{\beta-\alpha}$
$=\cfrac{\beta^3+a\beta^2+b\beta+c-\alpha^3-a\alpha^2-b\alpha-c}{\beta-\alpha}$
$=\cfrac{\beta^3-\alpha^3+a(\beta^2-\alpha^2)+b(\beta-\alpha)}{\beta-\alpha}$
$=\cfrac{(\beta-\alpha)(\beta^2+\alpha\beta+\alpha^2)+a(\beta+\alpha)(\beta-\alpha)+b(\beta-\alpha)}{\beta-\alpha}$
$=\beta^2+\alpha\beta+\alpha^2+a(\beta+\alpha)+b$
$=(1+i)^2+(1-i)(1+i)+(1-i)^2+a(1+i+1-i)+b$
$=1+2i-1+1+1+1-2i-1+2a+b$
$=2+2a+b$

また，$f'(x)=3x^2+ax+b$ より

$f'(\gamma)=3\gamma^2+a\gamma+b$

$\gamma$ は線分 AB 上の点だから，$\gamma=1+ti$ $(-1\leqq t\leqq1)$ とすると

$=3(1+ti)^2+a(1+ti)+b$
$=3+6ti-3t^2+2a+2ati+b$

このようになったら，いったん式を実部と虚部でまとめましょう。

$=3-3t^2+2a+b+(6t+2at)i$

ここで，$\cfrac{f(\beta)-f(\alpha)}{\beta-\alpha}=f'(\gamma)$ が成り立つと仮定すると

$2+2a+b=3-3t^2+2a+b+(6t+2at)i$ ・・・⑤

左辺は実数だから，恒等式が成り立つのは

$6t+2at=0$

のときである。

$t(3+a)=0$

よって，恒等式が成り立つ条件は $t=0$ または $a=-3$ のときである。

(i) $t=0$ のとき，⑤は

$2+2a+b=3+2a+b$

式は成り立たない。よって，不適。

(ii) $a=-3$ のとき，⑤は

$2-6+b=3-3t^2-6+b$
$3t^2=1$
$t^2=\cfrac{1}{3}$
$t=\pm\sqrt{\cfrac{1}{3}}=\pm\cfrac{\sqrt{3}}{3}$

よって，恒等式が成り立つ $t$ が存在する。

したがって，$\alpha,\beta,f(x)$ が平均値の性質をもつための必要十分条件は
$a=-3$，$b$，$c$ は任意の実数（証明終わり）

平均値の性質が成り立たないことを示す

(3)に進みます。

$\alpha=\cfrac{1-i}{\sqrt{2}},\beta=\cfrac{1+i}{\sqrt{2}},f(x)=x^7$

$\alpha$ と $\beta$ はそれぞれ共役な複素数です。

$\alpha,\beta$ を有利化すると

$\alpha=\cfrac{\sqrt{2}}{2}-\cfrac{\sqrt{2}}{2}i$
$\beta=\cfrac{\sqrt{2}}{2}+\cfrac{\sqrt{2}}{2}i$

$f'(x)=7x^6$ より
$f'(\gamma)=7\gamma^6$

$\alpha$ を極形式で表すと

$\alpha=\cos\Big(-\cfrac{\pi}{4}\Big)+i\sin\Big(-\cfrac{\pi}{4}\Big)$
$\alpha^7=\Big\{\cos\Big(-\cfrac{\pi}{4}\Big)+i\sin\Big(-\cfrac{\pi}{4}\Big)\Big\}^7$

ド・モアブルの定理より

$\alpha^7=\cos\Big(-\cfrac{7}{4}\pi\Big)+i\sin\Big(-\cfrac{7}{4}\pi\Big)$

同様にして

$\beta=\cos\cfrac{\pi}{4}+i\sin\cfrac{\pi}{4}$
$\beta^7=\cos\cfrac{7}{4}\pi+i\sin\cfrac{7}{4}\pi$

$\theta=\cfrac{\pi}{4}$ と $-\cfrac{7}{4}\pi$ において，$\sin$ と $\cos$ の値は一致するので，$\alpha=\beta^7$ と $\beta=\alpha^7$ が成り立ちます。

よって

$\cfrac{f(\beta)-f(\alpha)}{\beta-\alpha}=\cfrac{\beta^7-\alpha^7}{\beta-\alpha}$
$=\cfrac{\alpha-\beta}{\beta-\alpha}$
$=\cfrac{\cfrac{1-i}{\sqrt{2}}-\cfrac{1+i}{\sqrt{2}}}{\cfrac{1+i}{\sqrt{2}}-\cfrac{1-i}{\sqrt{2}}}$
$=\cfrac{1-i-(1+i)}{1+i-(1-i)}$
$=\cfrac{-2i}{2i}$
$=-1$

$\cfrac{f(\beta)-f(\alpha)}{\beta-\alpha}=f'(\gamma)$ より

$-1=7\gamma^6$ と仮定すると

$\gamma^6=-\cfrac{1}{7}$

ここで，$\gamma$ を極形式で表してみましょう。

$\gamma=|\gamma|(\cos\theta+i\sin\theta)$ $\Big(-\cfrac{\pi}{4}\leqq\theta\leqq\cfrac{\pi}{4}\Big)$ ・・・⑥

$\gamma^6=|\gamma|^6(\cos\theta+i\sin\theta)^6$

ド・モアブルの定理より

$\gamma^6=|\gamma|^6(\cos6\theta+i\sin6\theta)$

よって，$6\theta$ の範囲は

$-\cfrac{3}{2}\pi\leqq6\theta\leqq\cfrac{3}{2}\pi$

となります。

$\gamma^6=-\cfrac{1}{7}$ だから，$\gamma^6$ は実数です。つまり，極形式の $i\sin6\theta$ が $0$ となる場合を考えます。

(i) $6\theta=0$ のとき

$\gamma^6=|\gamma|^6$

ここで，$\gamma$ は線分 AB 上の点であることを思い出しましょう。

$-\cfrac{\pi}{4}\leqq\theta\leqq\cfrac{\pi}{4}$ の範囲において

$\cfrac{\sqrt{2}}{2}\leqq|\gamma|\leqq1$
$\cfrac{1}{8}\leqq|\gamma|^6\leqq1$

となり，$\gamma^6=-\cfrac{1}{7}$ と矛盾する。

(ii) $6\theta=\pi$ のとき

$\theta=\cfrac{\pi}{6}$
$\gamma^6=-|\gamma|^6$

このとき

$-1\leqq-|\gamma|^6\leqq-\cfrac{1}{8}$

となり，$\gamma^6=-\cfrac{1}{7}$ と矛盾する。

したがって，$\alpha=\cfrac{1-i}{\sqrt{2}},\beta=\cfrac{1+i}{\sqrt{2}},f(x)=x^7$ は平均値の性質をもたない。（証明終わり）