α = − 4 − 2 i , β = 2 + i \alpha=-4-2i,\beta=2+i α = − 4 − 2 i , β = 2 + i i i i ∣ z − α ∣ = 2 ∣ z − β ∣ |z-\alpha|=2|z-\beta| ∣ z − α ∣ = 2∣ z − β ∣ z z z C C C
(1) C C C z z z z = 0 z=0 z = 0 C C C w = 1 z \displaystyle w=\frac{1}{z} w = z 1 w w w 2 2 2 A ( α ) A(\alpha) A ( α ) B ( β ) B(\beta) B ( β ) l l l w w w m m m l l l m m m 1 1 1 l l l m m m θ ( 0 < 0 ≦ π 2 ) \displaystyle \theta\left(0<0\leqq\frac{\pi}{2}\right) θ ( 0 < 0 ≦ 2 π ) cos θ \cos \theta cos θ
ここでやるのは円の作りかた、垂直二等分線の作り方、複素数の割り算、複素数から極形式への変換。基本通りだけど少しアイデアが必要な部分もあるから実践で身につけてね。
円に持ち込む
複素数
z z z 全体が円を表すとき
∣ z − |z- ∣ z − 中心
∣ = |= ∣ = 半径
α \alpha α と
β \beta β を比べて 2 倍の関係が見えると計算ラクになるよ。
α = − 2 β \alpha=-2\beta α = − 2 β β = − α 2 \displaystyle\beta=-\frac{\alpha}{2} β = − 2 α
与式に代入すると
∣ z − α ∣ = 2 ∣ z + α 2 ∣ \displaystyle|z-\alpha|=2\left|z+\frac{\alpha}{2}\right| ∣ z − α ∣ = 2 ∣ ∣ z + 2 α ∣ ∣
こういうときは公式
z z ˉ = ∣ z ∣ 2 z\bar z=|z|^2 z z ˉ = ∣ z ∣ 2 を使って絶対値をはずす。
両辺を2乗して
∣ z − α ∣ 2 = 4 ∣ z + α 2 ∣ 2 \displaystyle|z-\alpha|^2=4\left|z+\frac{\alpha}{2}\right|^2 ∣ z − α ∣ 2 = 4 ∣ ∣ z + 2 α ∣ ∣ 2 ( z − α ) ( z ˉ − α ˉ ) = 4 ( z + α 2 ) ( z ˉ + α ˉ 2 ) \displaystyle (z-\alpha)(\bar z-\bar \alpha)=4\left(z+\frac{\alpha}{2}\right)\left(\bar z+\frac{\bar\alpha}{2}\right) ( z − α ) ( z ˉ − α ˉ ) = 4 ( z + 2 α ) ( z ˉ + 2 α ˉ ) z z ˉ − α ˉ z − α z ˉ + α α ˉ = 4 z z ˉ + 2 α ˉ z + 2 α z ˉ + α α ˉ z\bar z-\bar \alpha z-\alpha\bar z+\alpha\bar\alpha=4z\bar z+2\bar\alpha z+2\alpha\bar z+\alpha\bar\alpha z z ˉ − α ˉ z − α z ˉ + α α ˉ = 4 z z ˉ + 2 α ˉ z + 2 α z ˉ + α α ˉ 3 z z ˉ + 3 α ˉ z + 3 α z ˉ = 0 3z\bar z+3\bar\alpha z+3\alpha\bar z=0 3 z z ˉ + 3 α ˉ z + 3 α z ˉ = 0 z z ˉ + α ˉ z + α z ˉ = 0 z\bar z+\bar\alpha z+\alpha\bar z=0 z z ˉ + α ˉ z + α z ˉ = 0
ここから因数分解します。( z + a ) ( z ˉ + b ) = z z ˉ + b z + a z ˉ + a b (z+a)(\bar z+b)=z\bar z+bz+a\bar z+ab ( z + a ) ( z ˉ + b ) = z z ˉ + b z + a z ˉ + ab a a a α \alpha α b b b α ˉ \bar\alpha α ˉ a b ab ab
z z ˉ + b z + a z ˉ = ( z + a ) ( z ˉ + b ) − a b z\bar z+bz+a\bar z=(z+a)(\bar z+b)-ab z z ˉ + b z + a z ˉ = ( z + a ) ( z ˉ + b ) − ab ( z + α ) ( z ˉ + α ˉ ) − α α ˉ = 0 (z+\alpha)(\bar z+\bar\alpha)-\alpha\bar\alpha=0 ( z + α ) ( z ˉ + α ˉ ) − α α ˉ = 0 ( z + α ) ( z + α ‾ ) = ∣ α ∣ 2 (z+\alpha)(\overline{z+\alpha})=|\alpha|^2 ( z + α ) ( z + α ) = ∣ α ∣ 2 ∣ z + α ∣ 2 = ∣ α ∣ 2 |z+\alpha|^2=|\alpha|^2 ∣ z + α ∣ 2 = ∣ α ∣ 2 ∣ z + α ∣ = ∣ α ∣ |z+\alpha|=|\alpha| ∣ z + α ∣ = ∣ α ∣ ∣ α ∣ |\alpha| ∣ α ∣
複素数平面で絶対値は長さのことだから、三平方の定理を使って長さを求める。
∣ α ∣ = 4 2 + 2 2 = 20 = 2 5 |\alpha|=\sqrt{4^2+2^2}=\sqrt{20}=2\sqrt{5} ∣ α ∣ = 4 2 + 2 2 = 20 = 2 5 ∣ z + α ∣ = 2 5 |z+\alpha|=2\sqrt{5} ∣ z + α ∣ = 2 5 ∣ z − 4 − 2 i ∣ = 2 5 |z-4-2i|=2\sqrt{5} ∣ z − 4 − 2 i ∣ = 2 5 4 + 2 i 4+2i 4 + 2 i 2 5 2\sqrt{5} 2 5
w w w (2) に進みます。
z z z 全体が点
P P P 、点
Q Q Q の垂直二等分線であるとき
∣ z − |z- ∣ z − 点
P ∣ = ∣ z − P|=|z- P ∣ = ∣ z − 点
Q ∣ Q| Q ∣ w = 1 z \displaystyle w=\frac{1}{z} w = z 1 z = 1 w \displaystyle z=\frac{1}{w} z = w 1 ∣ 1 w − 4 − 2 i ∣ = 2 5 \displaystyle \left|\frac{1}{w}-4-2i\right|=2\sqrt{5} ∣ ∣ w 1 − 4 − 2 i ∣ ∣ = 2 5 ∣ w ∣ |w| ∣ w ∣ ∣ 1 − ( 4 + 2 i ) w ∣ = 2 5 ∣ w ∣ |1-(4+2i)w|=2\sqrt{5}|w| ∣1 − ( 4 + 2 i ) w ∣ = 2 5 ∣ w ∣ ∣ ( 4 + 2 i ) w − 1 ∣ = 2 5 ∣ w ∣ |(4+2i)w-1|=2\sqrt{5}|w| ∣ ( 4 + 2 i ) w − 1∣ = 2 5 ∣ w ∣
大丈夫。たとえば
∣ 1 − 3 ∣ = ∣ − 2 ∣ = 2 |1-3|=|-2|=2 ∣1 − 3∣ = ∣ − 2∣ = 2 で
∣ 3 − 1 ∣ = ∣ 2 ∣ = 2 |3-1|=|2|=2 ∣3 − 1∣ = ∣2∣ = 2 みたいに絶対値付けると結局どっちも一緒になるでしょ？
両辺を
∣ 4 + 2 i ∣ |4+2i| ∣4 + 2 i ∣ でわると
∣ w − 1 4 + 2 i ∣ = 2 5 ∣ w ∣ ∣ 4 + 2 i ∣ \displaystyle \left|w-\frac{1}{4+2i}\right|=\frac{2\sqrt{5}|w|}{|4+2i|} ∣ ∣ w − 4 + 2 i 1 ∣ ∣ = ∣4 + 2 i ∣ 2 5 ∣ w ∣
ここで
∣ 4 + 2 i ∣ = 4 2 + 2 2 = 2 5 |4+2i|=\sqrt{4^2+2^2}=2\sqrt{5} ∣4 + 2 i ∣ = 4 2 + 2 2 = 2 5 であることに注意すると
∣ w − 1 4 + 2 i ∣ = ∣ w ∣ \displaystyle \left|w-\frac{1}{4+2i}\right|=|w| ∣ ∣ w − 4 + 2 i 1 ∣ ∣ = ∣ w ∣
また、
1 4 + 2 i \displaystyle \frac{1}{4+2i} 4 + 2 i 1 は有理化して
1 4 + 2 i = 2 − i 10 \displaystyle \frac{1}{4+2i}=\frac{2-i}{10} 4 + 2 i 1 = 10 2 − i ∣ w − 2 − i 10 ∣ = ∣ w ∣ \displaystyle \left|w-\frac{2-i}{10}\right|=|w| ∣ ∣ w − 10 2 − i ∣ ∣ = ∣ w ∣
したがって、
w w w は 点
P ( 0 ) P(0) P ( 0 ) 、点
Q ( 2 − i 10 ) \displaystyle Q\left(\frac{2-i}{10}\right) Q ( 10 2 − i ) の垂直二等分線である。（答え）
直線をk k k
(3) に進みます。
まずは、l l l m m m
示しかたとしては、点A A A B B B k k k w w w
（証明）
l l l m m m w = α + k ( α − β ) w=\alpha+k(\alpha-\beta) w = α + k ( α − β ) k k k α = − 2 β \alpha=-2\beta α = − 2 β β − α = 3 β \beta-\alpha=3\beta β − α = 3 β w = − 2 β + 3 k β = ( 3 k − 2 ) β w=-2\beta+3k\beta=(3k-2)\beta w = − 2 β + 3 k β = ( 3 k − 2 ) β w ˉ = ( 3 k − 2 ) β ˉ \bar w=(3k-2)\bar \beta w ˉ = ( 3 k − 2 ) β ˉ β ˉ = 2 − i \bar \beta=2-i β ˉ = 2 − i ∣ w − β ˉ 10 ∣ = ∣ w ∣ \displaystyle \left|w-\frac{\bar\beta}{10}\right|=|w| ∣ ∣ w − 10 β ˉ ∣ ∣ = ∣ w ∣ z z ˉ = ∣ z ∣ 2 z\bar z=|z|^2 z z ˉ = ∣ z ∣ 2 ( w − β ˉ 10 ) ( w ˉ − β 10 ) = w w ˉ \displaystyle \left(w-\frac{\bar\beta}{10}\right)\left(\bar w-\frac{\beta}{10}\right)=w\bar w ( w − 10 β ˉ ) ( w ˉ − 10 β ) = w w ˉ w w ˉ − β w 10 − β ˉ w ˉ 10 + β β ˉ 100 = w w ˉ \displaystyle w\bar w-\frac{\beta w}{10}-\frac{\bar \beta\bar w}{10}+\frac{\beta\bar\beta}{100}=w\bar w w w ˉ − 10 βw − 10 β ˉ w ˉ + 100 β β ˉ = w w ˉ β β ˉ = ( 2 + i ) ( 2 − i ) = 5 \beta\bar\beta=(2+i)(2-i)=5 β β ˉ = ( 2 + i ) ( 2 − i ) = 5 − β w 10 − β ˉ w ˉ 10 + 1 20 = 0 \displaystyle -\frac{\beta w}{10}-\frac{\bar\beta\bar w}{10}+\frac{1}{20}=0 − 10 βw − 10 β ˉ w ˉ + 20 1 = 0 2 β w + 2 β ˉ w ˉ = 1 2\beta w+2\bar\beta\bar w=1 2 βw + 2 β ˉ w ˉ = 1 2 ( 3 k − 2 ) β 2 + 2 ( 3 k − 2 ) β ˉ 2 = 1 2(3k-2)\beta^2+2(3k-2)\bar\beta^2=1 2 ( 3 k − 2 ) β 2 + 2 ( 3 k − 2 ) β ˉ 2 = 1 2 ( 3 k − 2 ) ( β 2 + β ˉ 2 ) = 1 2(3k-2)(\beta^2+\bar\beta^2)=1 2 ( 3 k − 2 ) ( β 2 + β ˉ 2 ) = 1 12 ( 3 k − 2 ) = 1 12(3k-2)=1 12 ( 3 k − 2 ) = 1 3 k − 2 = 1 12 \displaystyle 3k-2=\frac{1}{12} 3 k − 2 = 12 1 k = 25 36 \displaystyle k=\frac{25}{36} k = 36 25 k k k l l l m m m
複素数を極形式で表す
つぎに cos θ \cos\theta cos θ
複素数平面で cos θ \cos\theta cos θ
複素数の極形式 r ( cos θ + i sin θ ) r(\cos\theta+i\sin\theta) r ( cos θ + i sin θ ) r r r θ \theta θ
ここで
w w w の描く直線
m m m を表す方法を考えなければなりませんが、このままではうまく表すことができません。そこで(2)で求めた垂直二等分線の式より、点
C ( 1 α ) \displaystyle C\left(\frac{1}{\alpha}\right) C ( α 1 ) 、点
D ( − 2 α ) \displaystyle D\left(-\frac{2}{\alpha}\right) D ( − α 2 ) とすると、直線
C D CD C D は 直線
m m m と垂直であることから、直線
C D CD C D を
90 ° 90\degree 90° 回転してみると良さそうです。
詳しくは教科書で複素数の回転のところを復習すべきだけど、手っ取り早く言うと
i i i をかけると
90 ° 90\degree 90° 回転する。
直線 C D CD C D 90 ° 90\degree 90° { 1 α − ( − 2 α ) } i = 3 i α \displaystyle \left\{\frac{1}{\alpha}-\left(-\frac{2}{\alpha}\right)\right\}i=\frac{3i}{\alpha} { α 1 − ( − α 2 ) } i = α 3 i m m m α − β = α + α 2 = 3 α 2 \displaystyle \alpha-\beta=\alpha+\frac{\alpha}{2}=\frac{3\alpha}{2} α − β = α + 2 α = 2 3 α l l l
ここで複素数の極形式と割り算の関係を思い出しましょう。
複素数の割り算
z 1 = r 1 ( cos θ 1 + i sin θ 1 ) z_1=r_1(\cos\theta_1+i\sin\theta_1) z 1 = r 1 ( cos θ 1 + i sin θ 1 ) z 2 = r 2 ( cos θ 2 + i sin θ 2 ) z_2=r_2(\cos\theta_2+i\sin\theta_2) z 2 = r 2 ( cos θ 2 + i sin θ 2 )
のとき
z 1 z 2 = r 1 r 2 { cos ( θ 1 − θ 2 ) + i sin ( θ 1 − θ 2 ) } \displaystyle \frac{z_1}{z_2}=\frac{r_1}{r_2}\{\cos(\theta_1-\theta_2)+i\sin(\theta_1-\theta_2)\} z 2 z 1 = r 2 r 1 { cos ( θ 1 − θ 2 ) + i sin ( θ 1 − θ 2 )} 割り算をするとき偏角同士は引き算となり、2つの直線のなす角を求めることができます。
よって、割り算をしていきましょう。
今回は条件
( 0 < θ ≦ π 2 ) \left(0<\theta\leqq\frac{\pi}{2}\right) ( 0 < θ ≦ 2 π ) だから、
cos θ \cos\theta cos θ の値が正の数であればよい。もしマイナスになったら計算やりなおすのが素直だろうね。
3 i α 3 α 2 = i α α 2 = i α 2 2 = 2 i α 2 \displaystyle \frac{\frac{3i}{\alpha}}{\frac{3\alpha}{2}}=\frac{\frac{i}{\alpha}}{\frac{\alpha}{2}}=\frac{i}{\frac{\alpha^2}{2}}=\frac{2i}{\alpha^2} 2 3 α α 3 i = 2 α α i = 2 α 2 i = α 2 2 i α = − 4 − 2 i \alpha=-4-2i α = − 4 − 2 i を代入して
2 i ( − 4 − 2 i ) 2 = 2 i 12 + 16 i = i 6 + 8 i \displaystyle \frac{2i}{(-4-2i)^2}=\frac{2i}{12+16i}=\frac{i}{6+8i} ( − 4 − 2 i ) 2 2 i = 12 + 16 i 2 i = 6 + 8 i i
分母に
i i i があるので有理化します。
= i ( 6 − 8 i ) ( 6 + 8 i ) ( 6 − 8 i ) = 8 + 6 i 36 + 64 \displaystyle =\frac{i(6-8i)}{(6+8i)(6-8i)}=\frac{8+6i}{36+64} = ( 6 + 8 i ) ( 6 − 8 i ) i ( 6 − 8 i ) = 36 + 64 8 + 6 i = 8 + 6 i 100 = 4 + 3 i 50 \displaystyle =\frac{8+6i}{100}=\frac{4+3i}{50} = 100 8 + 6 i = 50 4 + 3 i
ここから極形式に持ち込みます。
z = r ( cos θ + i sin θ ) z=r(\cos\theta+i\sin\theta) z = r ( cos θ + i sin θ ) の形から考えると実部が横方向、虚部が縦方向だと言えるよね。つまり、３：４：５の直角三角形になるってこと。
cos \cos cos 底辺 斜辺 \displaystyle\frac{\text{底辺}}{\text{斜辺}} 斜辺 底辺 sin \sin sin 高さ 斜辺 \displaystyle\frac{\text{高さ}}{\text{斜辺}} 斜辺 高さ = 1 10 ( 4 5 + 3 5 i ) \displaystyle =\frac{1}{10}(\frac{4}{5}+\frac{3}{5}i) = 10 1 ( 5 4 + 5 3 i )
cos \cos cos と
sin \sin sin の両方で三角比のつじつまが合ってないとダメよ。だからここは分母が
5 5 5 になる。
あとは
z = r ( cos θ + i sin θ ) z=r(\cos\theta+i\sin\theta) z = r ( cos θ + i sin θ ) の形から考えて
c o s θ = 4 5 \displaystyle cos\theta=\frac{4}{5} cos θ = 5 4 となります。これは、
( 0 < θ ≦ π 2 ) \left(0<\theta\leqq\frac{\pi}{2}\right) ( 0 < θ ≦ 2 π ) の条件に合う。したがって
c o s θ = 4 5 \displaystyle cos\theta=\frac{4}{5} cos θ = 5 4 （答え）
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