複素数平面の垂直条件(横浜国立大2018理系第3問)

$\alpha$ を複素数とする。$z\not=-\alpha$ をみたす複素数 $z$ に対して，$w=\cfrac{z+2\alpha}{z+\alpha}$ と定める。$|z-1|=1$ をみたすようなすべての $z$ に対して，$|w-1|=1$ が成り立つ。次の問いに答えよ。

(1) $\alpha$ を求めよ。

(2) $w=z$ をみたす $z$ を求めよ。

(3) $z_0=1+i$ とし，$z\not=z_0$ かつ $z\not=-\alpha$ とする。複素数平面上の 3 点 A$(z_0)$，P$(z)$，Q$(w)$ を考える。直線 AP と直線 AQ が垂直に交わるような点 P の全体が表す図形を，複素数平面上に図示せよ。

z の式になおす

(1)から始めます。

一つの考え方は，$w=\cfrac{z+2\alpha}{z+\alpha}$ を $|w-1|=1$ に代入してみることです。しかし，この方法ではうまくいかないはずです。別な方法を考えなければいけません。

問題集などでは，$w$ の式が出てきたら，何となく $z$ の式になおすのがやり方でした。今回もそれでいくとうまくいきます。

$w=\cfrac{z+2\alpha}{z+\alpha}$
$(z+\alpha)w=z+2\alpha$
$zw+\alpha w=z+2\alpha$
$zw-z=2\alpha-\alpha w$
$z(w-1)=\alpha(2-w)$
$z=\cfrac{\alpha(2-w)}{w-1}$

これを $|z-1|=1$ に代入すると

$\Big|\cfrac{\alpha(2-w)}{w-1}-1\Big|=1$

通分して

$\Big|\cfrac{\alpha(2-w)-w+1}{w-1}\Big|=1$

$\cfrac{|\alpha(2-w)-w+1|}{|w-1|}=1$

$|w-1|=1$ だから

$|\alpha(2-w)-w+1|=1$

ここから，$w$ を消去する方法を考えます。

$\alpha=-1$ とすると，左辺は

$|-(2-w)-w+1|$
$=|-2+w-w+1|$
$=|-1|$
$=1$

左辺＝右辺が成り立つので，$\alpha=-1$

一応，これで答えとしても良いのですが，問題文の「$|z-1|=1$ をみたすようなすべての $z$ に対して，$|w-1|=1$ が成り立つ。」ことを示しておいた方が良いでしょう。

$w=\cfrac{z-2}{z-1}$　として，$|w-1|=1$ に代入すると，左辺は

$\Big|\cfrac{z-2}{z-1}-1\Big|$
$=\Big|\cfrac{z-2-z+1}{z-1}\Big|$

$|z-1|=1$ だから

$|-1|=1$

左辺＝右辺より，式は成り立つ。

従って

$\alpha=-1$　（答え）

w=z になる場合

(2)に進みます。

(1)より $\alpha=-1$ とすると

$w=\cfrac{z-2}{z-1}$

$w=z$ より

$z=\cfrac{z-2}{z-1}$
$z(z-1)=z-2$
$z^2-2z+2=0$
$z=1\pm\sqrt{1-2}$
$z=1\pm i$　（答え）

垂直になる条件

(3)に進みます。

複素数平面上に点A$(z)$，B$(w)$ があり，OA と OB が垂直に交わるとき，$\cfrac{w}{z}$ は純虚数になります。

$z$ と $w$ を極形式で表してみます。

$z=r_1(\cos\theta_1+i\sin\theta_1)$
$w=r_2(\cos\theta_2+i\sin\theta_2)$

とすると

$\cfrac{w}{z}=\cfrac{r_2}{r_1}\{\cos(\theta_2-\theta_1)+i\sin(\theta_2-\theta_1)\}$

OA⊥OB のとき，$\theta_2-\theta_1=90\degree$ だから

$=\cfrac{r_2}{r_1}(\cos90\degree+i\sin90\degree)$
$=\cfrac{r_2}{r_1}\space i$

こうして，実数の部分が 0 になって消えて，虚数の部分だけが残るという仕組みです。

ただし，今回は始点が $z_0$ なので，$z_0$ を引いて原点に戻した上で割り算します。

$\cfrac{w-z_0}{z-z_o}=ki$　とする

$\cfrac{r_2}{r_1}$ の値は分からないので，$k$ としています。

(1)より，$z=\cfrac{w-2}{w-1}$，$w=\cfrac{z-2}{z-1}$

(2)より $z=1\pm i$ のとき，$z=w$ が成り立つ。よって，$z$ を $z_0=1+i$ におきかえると，$z_0=w$ が成り立つ。したがって

$z_0=\cfrac{z_0-2}{z_0-1}$

$\cfrac{\cfrac{z-2}{z-1}-\cfrac{z_0-2}{z_0-1}}{z-z_0}=ki$　$(k\not=0)$

左辺について整理すると

$\cfrac{(z-2)(z_0-1)-(z-1)(z_0-2)}{(z-z_0)(z-1)(z_0-1)}$
$=\cfrac{zz_0-z-2z_0+2-zz_0+2z+z_0-2}{(z-z_0)(z-1)(z_0-1)}$
$=\cfrac{z-z_0}{(z-z_0)(z-1)(z_0-1)}$
$=\cfrac{1}{(z-1)(z_0-1)}$
$=\cfrac{1}{(z-1)(1+i-1)}$
$=\cfrac{1}{i(z-1)}=ki$

両辺に $i$ をかけると

$\cfrac{1}{z-1}=-k$

両辺の逆数をとって

$z-1=-\cfrac{1}{k}$
$z=1-\cfrac{1}{k}$

$z$ は実数なので，複素数平面上では $x$ 軸上の点ということになります。また，$k$ に 0 以外の値が入るので，$z$ は 1 になることはありません。

したがって

$x$ 軸上の 1 を除く部分（答え）