移動する直線が示す領域とその面積を求める　コツは x を固定すること(横浜国立大2019理系第4問)

O を原点とする $xy$ 平面上に 2 点 A$(2,0)$，B$(0,2)$ がある。2 点 P，Q は条件（＊）をみたしながら動く。

（＊）$\begin{cases}\textsf{Pは線分OA上にある。}\\\textsf{Qは線分OA上にある。}\\\textsf{△OPQの面積は 1 である。}\end{cases}$

点 P の座標を $(t,0)$ とする。次の問いに答えよ。

(1) $t$ のとり得る値の範囲を求めよ。

(2) $t$ が(1)で求めた範囲を動くとき，線分 PQ が通過する領域を $xy$ 平面上に図示せよ。

(3) (2)で求めた領域の面積 $S$ を求めよ。

t の範囲を求める

(1)から始めます。

Q$(0,s)$ とおくと

△OPQ$=\cfrac{1}{2}ts=1$
$s=\cfrac{2}{t}$

これは反比例のグラフです。

$t$ と $s$ はともに 2 を超えることができないので，グラフを描いてみると $t$ のとり得る範囲が見えてきます。

したがって

$1\leqq t\leqq2$　（答え）

移動する直線がつくる領域

(2)に進みます。

領域を図示すること自体はそれほど難しくなく，上のようになります。

あとはこれを式の形で示しましょう。

まず，領域 I について考えてみます。

(1)より

$t=\cfrac{2}{s}$

$s=\cfrac{2}{t}$

となる。P$(t,0)$，Q$\Big(0,\cfrac{2}{t}\Big)$ を通る直線の式は

$y=-\cfrac{\space\cfrac{2}{t}\space}{t}\space x+\cfrac{2}{t}$
$=-\cfrac{2}{t^2}x+\cfrac{2}{t}$

よって，領域 I は

$y\leqq-\cfrac{2}{t^2}x+\cfrac{2}{t}$

そこで，いったん式を $f(x)$ ではなく $f(t)$ とします。このとき，$t$ を変化する値と考え，$x$ はある決まった値（定数）であると考えます。そうすると，この関数は $t$ の値によって $f(t)$ の値（$y$ の値）が変わり，タテ方向に垂直に移動することになります。

こうして，上のグラフを見てみると，$f(t)$ の最大値が領域の境界であるが分かります。

微分して最大値を求めてみましょう。

$f(t)=-\cfrac{2}{t^2}x+\cfrac{2}{t}$　とすると

$f(t)=-2t^{-2}x+2t^{-1}$

微分して

$f'(t)=4t^{-3}x-2t^{-2}$
$=\cfrac{4}{t^3}x-\cfrac{2}{t^2}$

$\cfrac{4}{t^3}x-\cfrac{2}{t^2}=0$ とすると

(1)より $t\not=0$ だから，両辺に $t^3$ をかけると

$4x-2t=0$
$t=2x$　$(x\geqq0)$

増減表は

$\def\arraystretch{1.5}\begin{array}{|c|c|c|c|c|}\hline t&(0)&\cdots&2x&\cdots\\\hline f'(t)&&+&0&-\\\hline f(t)&&\nearrow&&\searrow\\\hline\end{array}$

(i) $0\leqq x\leqq\cfrac{1}{2}$ のとき，$t=1$ で最大

$f(1)=-2x+2$

(ii) $\cfrac{1}{2}<x\leqq1$ のとき，$t=2x$ で最大

$f(2x)=-\cfrac{2}{4x^2}x+\cfrac{2}{2x}$
$=-\cfrac{1}{2x}+\cfrac{1}{x}$
$=\cfrac{1}{2x}$

これは，反比例のグラフになります。

(iii) $1<x\leqq2$ のとき，$t=2$ で最大

$f(2)=-\cfrac{2}{4}x+\cfrac{2}{2}$
$=-\cfrac{1}{2}x+1$

したがって，領域 I は

領域 I $\begin{cases}y\leqq-2x+2\space\Big(0\leqq x<\cfrac{1}{2}\Big)\\y\leqq\cfrac{1}{2x}\space\Big(\cfrac{1}{2}<x\leqq1\Big)\\y\leqq-\cfrac{1}{2}x+1\space(1<x\leqq2)\end{cases}$

また，$x=\cfrac{1}{2}$ のとき $y=-2x+2$ に代入して

$y=-2\cdot\cfrac{1}{2}+2$
$=1$

$x=1$ のとき $y=\cfrac{1}{2x}$ に代入して

$y=\cfrac{1}{2}$

次に，領域 II について考えます。

領域 II は $(1,0)$ と $(0,2)$ を通る直線，および $(2,0)$ と $(0,1)$ を通る直線だから

$y=-\cfrac{1}{2}x+1$
$y=-2x+2$

で囲まれた部分です。

交点を求めておきましょう。

式を連立して

$-\cfrac{1}{2}x+1=-2x+2$
$-x+2=-4x+4$
$3x=2$
$x=\cfrac{2}{3}$

よって

$y=-2\cdot\cfrac{2}{3}+2=\cfrac{2}{3}$

交点の座標は $\Big(\cfrac{2}{3},\space\cfrac{2}{3}\Big)$

したがって，領域 II は

領域II $\begin{cases}y\geqq-\cfrac{1}{2}x+1\space\Big(0\leqq x<\cfrac{2}{3}\Big)\\y\geqq-2x+2\space\Big(\cfrac{2}{3}<x\leqq1\Big)\end{cases}$

領域 I，II を重ねると

（答え）

領域の面積

(3)に進みます。

面積は (2) で求めた領域 I から領域 II を引けば求められます。あとは，図形を台形や三角形などに分解して計算していきましょう。

$\displaystyle S=\cfrac{1}{2}(2+1)\cdot\cfrac{1}{2}+\int_{\small{\frac{1}{2}}}^1\cfrac{1}{2x}\space dx+\cfrac{1}{2}\cdot1\cdot\cfrac{1}{2}-\cfrac{1}{2}\Big(1+\cfrac{2}{3}\Big)\cdot\cfrac{2}{3}-\cfrac{1}{2}\cdot\cfrac{1}{3}\cdot\cfrac{2}{3}$
$=\cfrac{3}{4}+\cfrac{1}{2}\Big[\log 2x\Big]_{\small{\frac{1}{2}}}^1+\cfrac{1}{4}-\cfrac{5}{9}-\cfrac{1}{9}$
$=\cfrac{1}{3}+\cfrac{1}{2}(\log2-\log1)$
$=\cfrac{1}{3}+\cfrac{1}{2}\log 2$　（答え）

移動する直線が重なることによって領域を作るパターンは決して珍しいものではないので，マスターしましょう。コツは $x$ の値を固定して $t$ を変化させ，$y$ の最大値を求めることでした。グラフを見ながらイメージをつかみましょう。