【スマホで読む・わかりやすい】共通テスト数学IIB2021本試【解説・正解・問題】

第4問　正解

ア 3　イ 3　ウ,エ 2,3　オ,カ,キ 2,6,6
ク 3　ケ,コ,サ 3,2,1　シ,ス 3,1
セ,ソ 4,3　タ 2　チ 2　ツ 2　テ 0

(1)

初項 $3$，公差 $p$ の等差数列を $\{a_n\}$ とすると

$a_n=3+(n-1)p$　・・・・・・②

・・・ア

$a_{n+1}=3+np$ ・・・・・・③

また，初項 $3$，公比 $r$ の等比数列を $\{b_n\}$ とすると

$b_n=3r^{n-1}$

・・・・・・イ

$a_nb_{n+1}-2a_{n+1}b_n+3b_{n+1}=0$　$(n=1,2,3,\cdots)$ ・・・①

として，①の両辺を $b_n$ で割ると

$a_n\cdot\cfrac{b_{n+1}}{b_n}-2a_{n+1}\cdot\cfrac{b_n}{b_n}+3\cdot\cfrac{b_{n+1}}{b_n}=0$

$\cfrac{b_{n+1}}{b_n}=r$ であることに注意して

$ra_n-2a_{n+1}+3r=0$
$2a_{n+1}=r(a_n+3)$ ・・・・・・④

・・・ウ，エ

④に②と③を代入すると

$2(3+np)=r\{3+(n-1)p+3\}$
$6+2np=6r+(n-1)pr$
$6+2np=6r+npr-rp$
$npr-2np=rp-6r+6$
$(r-2)pn=r(p-6)+6$ ・・・・・・⑤

・・・オ，カ，キ

ここで，$r$ と $p$ が定数であることに注意すると，⑤の左辺は $n$ の倍数であり，$n$ の値によってさまざまな値をとることが分かる。

一方で，右辺は $n$ を含まず，定数となるため矛盾する。左辺と右辺がともに定数となるのは，$r=2$，つまり左辺が $0$ となるときのみである。

したがって，$r=2$ である。

$r=2$ とすると⑤は

$0=2(p-6)+6$
$0=2p-12+6$
$0=2p-6$
$2p=6$
$p=3$

・・・ク

(2)

$p=3$，$r=2$ とすると

$a_n=3+(n-1)\cdot3$
$=3+3n-3=3n$

よって

$\displaystyle\sum_{k=1}^na_k=\sum_{k=1}^n 3k=3\sum_{k=1}^n k$

公式 $\displaystyle\sum_{k=1}^n k=\cfrac{1}{2}n(n+1)$ より

$=3\cdot\cfrac{1}{2}n(n+1)$
$=\cfrac{3}{2}n(n+1)$

・・・ケ，コ，サ

また，$b_n=3\cdot2^{n-1}$ だから

$\displaystyle\sum_{k=1}^nb_k=\sum_{k=1}^n3\cdot2^{n-1}$

これは等比数列の和である。

公式 $\cfrac{a(r^n-1)}{r-1}$ より

$\displaystyle\sum_{k=1}^n3\cdot2^{n-1}$
$=\cfrac{3(2^n-1)}{2-1}=3(2^n-1)$

・・・シ，ス

(3)

$a_nc_{n+1}-4a_{n+1}c_n+3c_{n+1}=0$ $(n=1,2,3,\cdots)$ ・・・・・・⑥

として

$a_nc_{n+1}+3c_{n+1}=4a_{n+1}c_n$
$(a_n+3)c_{n+1}=4a_{n+1}c_n$
$c_{n+1}=\cfrac{4a_{n+1}}{a_n+3}\space c_n$

・・・セ，ソ

また，$p_3$ を②と③に代入して

$a_n=3+(n-1)\cdot3$
$=3+3n-3=3n$
$a_{n+1}=3+n\cdot3=3n+3$

これらを代入して

$c_{n+1}=\cfrac{4a_{n+1}}{a_n+3}c_n$
$=\cfrac{4\cdot(3n+3)}{3n+3}\space c_n$
$=4c_n$

つまり，$c_n$ は公比 4 の等比数列である。
したがって，②が正しい。

・・・タ

(4)

$d_nb_{n+1}-qd_{n+1}b_n+ub_{n+1}=0$ $(n=1,2,3,\cdots)$ ・・・・・・⑦

⑦を変形して

$qd_{n+1}b_n=d_nb_{n+1}+ub_{n+1}$
$d_{n+1}=\cfrac{d_n}{q}\cdot\cfrac{b_{n+1}}{b_n}+\cfrac{u}{q}\cdot\cfrac{b_{n+1}}{b_n}$

$\{b_n\}$ は公比 $2$ の等比数列であるから，$\cfrac{b_{n+1}}{b_n}=2$ であることに注意すると

$=\cfrac{2}{q}(d_n+u)$

・・・チ

数列 $\{d_n\}$ が，公比が $0$ より大きく $1$ より小さい等比数列となるためには

$0<\cfrac{2}{q}<1$ より

$q>2$

・・・ツ

また $u=0$ のときである。

・・・テ

問題文

第3問～第5問は，いずれか2問を選択し，解答しなさい。

第4問

初項 $3$，公差 $p$ の等差数列を $\{a_n\}$ とし，初項 $3$，公比 $r$ の等比数列を $\{b_n\}$ とする。ただし，$p\not=0$ かつ $r\not=0$ とする。さらに，これらの数列が次を満たすとする。

$a_nb_{n+1}-2a_{n+1}b_n+3b_{n+1}=0$　$(n=1,2,3,\cdots)$ ・・・①

(1) $p$ と $r$ の値を求めよう。自然数 $n$ について，$a_n$，$a_{n+1}$，$b_n$ はそれぞれ

$a_n=\boxed{\sf ア}+(n-1)p$ ・・・・・・②
$a_{n+1}=\boxed{\text ア}+ np$ ・・・・・・③
$b_n=\boxed{\sf イ}r^{n-1}$

と表される。$r\not=0$ により，すべての自然数 $n$ について，$b_n\not=0$ となる。

$\cfrac{b_{n+1}}{b_n}=r$ であることから，① の両辺を $b_n$ で割ることにより

$\boxed{\sf ウ}\space a_{n+1}=r(a_n+\boxed{\sf エ})$ ・・・・・・④

が成り立つことがわかる。④に②と③を代入すると

$(r-\boxed{\sf オ})pn=r(p-\boxed{\sf カ})+\boxed{\sf キ}$ ・・・・・・⑤

となる。⑤がすべての $n$ で成り立つことおよび $p\not=0$ により，$r=\boxed{\text オ}$ を得る。さらに，このことから，$p=\boxed{\sf ク}$ を得る。

以上から，すべての自然数 $n$ について，$a_n$ と $b_n$ が正であることもわかる。

(2) $p=\boxed{\text ク}$，$r=\boxed{\text オ}$ であることから，$\{a_n\}$，$\{b_n\}$ の初項から第 $n$ 項までの和は，それぞれ次の式で与えられる。

$\displaystyle \sum_{k=1}^n a_k=\cfrac{\boxed{\sf ケ}}{\boxed{\sf コ}}\space n(n+\boxed{\sf サ})$

$\displaystyle \sum_{k=1}^n b_k=\boxed{\sf シ}(\boxed{\text オ}^n-\boxed{\sf ス})$

(3) 数列 $\{a_n\}$ に対して，初項 $3$ の数列 $\{c_n\}$ が次を満たすとする。

$a_nc_{n+1}-4a_{n+1}c_n+3c_{n+1}=0$ $(n=1,2,3,\cdots)$ ・・・・・・⑥

$a_n$ が正であることから，⑥ を変形して，$c_{n+1}=\cfrac{\boxed{\sf セ}\space a_{n+1}}{a_n+\boxed{\sf ソ}}\space c_n$ を得る。

さらに，$p=\boxed{\text ク}$ であることから，数列 $\{c_n\}$ は $\boxed{\boxed{\sf タ}}$ ことがわかる。

$\boxed{\boxed{\text タ}}$ の解答群
⓪ すべての項が同じ値をとる数列である
① 公差が $0$ でない等差数列である
② 公比が $1$ より大きい等比数列である
③ 公比が $1$ より小さい等比数列である
④ 等差数列でも等比数列でもない

(4) $q$，$u$ は定数で，$q\not=0$ とする。数列 $\{b_n\}$ に対して，初項 3 の数列 $\{a_n\}$ が次を満たすとする。

$d_nb_{n+1}-qd_{n+1}b_n+ub_{n+1}=0$ $(n=1,2,3, \cdots)$ ・・・・・・⑦

$r=\boxed{\text オ}$ であることから，⑦を変形して，$d_{n+1}=\cfrac{\boxed{\sf チ}}{q}\space(d_n+u)$ を得る。したがって，数列 $\{d_n\}$ が，公比が $0$ より大きく $1$ より小さい等比数列となるための必要十分条件は，$q>\boxed{\sf ツ}$ かつ $u=\boxed{\sf テ}$ である。