【数IA整数の性質】自然数の条件を利用して平方数を求める(北海道大2017)

公開日:2020/10/25

最終更新日:2020/10/25

自然数の 2 乗となる数を平方数という。(北海道大2017)

(1) 自然数 $a,n,k$ に対して，$n(n+1)+a=(n+k)^2$ が成り立つとき，

$a\geqq k^2+2k-1$

が成り立つことを示せ。

(2) $n(n+1)+14$ が平方数となるような自然数 $n$ をすべて求めよ。

自然数の条件を利用する

(1)から始めます。

何やっていいかさっぱりです。

方針としては，いったん式を整理して $a=$ の式にもっていくか，$n=$ の式，$k=$ の式にもっていくかで考えることになる。試行錯誤が必要。今回は $n=$ の式が突破口になる。

何はともあれ，式を展開して整理していきましょう。

$n(n+1)+a=(n+k)^2$
$n^2+n+a=n^2+2kn+k^2$
$2kn-n=a-k^2$
$n(2k-1)=a-k^2$
$n=\cfrac{a-k^2}{2k-1}$

$n$ は自然数だから

$\cfrac{a-k^2}{2k-1}\geqq 1$

証明する不等式に $n$ がないということは，どこかで $n$ を消去する必要がある。このとき，$n$ が自然数という条件をどこかで使うはずだって意識しておくと式が導けると思う。

難しい。

そうね，でも $n=\cfrac{a-k^2}{2k-1}$ を作ったときに，式の中に $k^2$，$2k$，$-1$ みたいに，証明する不等式と共通する要素が出てくるじゃない？だからこの時点で答えに近いところまでは来てるってのが見えると思うの。

$a-k^2\geqq 2k-1$
$a\geqq k^2+2k-1$ (答え)

(2)に進みます。

(1)の式と似てる気がする。

そうそう。それ大事。ようするに $a=14$ ってことだよね。

(1)より

$n(n+1)+14=(n+k)^2$ のとき
$14\geqq k^2+2k-1$
が成り立つ。

ここから $k$ の範囲が求められます。

$k^2+2k-15\leqq 0$
$(k+5)(k-3)\leqq0$
$-5\leqq k\leqq 3$

$k$ は自然数だから
$1\leqq k\leqq 3$

この条件をもとに，(1)で求めた $n=\cfrac{a-k^2}{2k-1}$ に当てはめて考えていきましょう。
$n$ もまた自然だから，$k$ の値を代入したときに，$n$ が自然数になればよいことになります。

(i) $k=1$ のとき

$n=\cfrac{14-1^2}{2\cdot1-1}=13$

(ii) $k=2$ のとき

$n=\cfrac{14-2^2}{2\cdot2-1}=\cfrac{10}{3}$ 不適

(iii) $k=3$ のとき

$n=\cfrac{14-3^2}{2\cdot3-1}=1$

したがって

$n=1,13$ (答え)

問題文では平方数を成り立つときを問われていますが，$n(n+1)+14=(n+k)^2$ を考えると，右辺を見て $n$ と $k$ の値が決まれば，$n(n+1)+14$ は平方数になることが分かります。