【数III】置換積分を用いた三角関数の積分

ここでは，三角関数の式の積分のうち，置換積分を用いるものをいくつか取り上げてみます。

ルートまるごと置き換え

$\displaystyle\int\sqrt{\cos^2x+1}\sin2x\space dx$

$\sqrt{\cos^2x+1}=t$ として

両辺を二乗すると

$\cos^2x+1=t^2$

両辺を微分して

$2\cos x\cdot(-\sin x)\space dx=2t\space dt$

$dx=-\cfrac{t}{\sin x\cos x}\space dt$

よって

(与式)=$\displaystyle-\int t\cdot\sin 2x\cdot\cfrac{t}{\sin x\cos x}\space dt$

2 倍角の公式 $\sin2x=2\sin x\cos x$ より

$\displaystyle=-2\int t\sin x\cos x\cdot\cfrac{t}{\sin x\cos x}\space dt$

$\displaystyle=-2\int t^2\space dt$

$=-2\cdot\cfrac{t^3}{3}+C$

$=-\cfrac{2}{3}(\cos^2 x+1)\sqrt{\cos^2 x+1}+C$ ($C$は積分定数)・・・(答)

式を変形してから置き換え

$\displaystyle\int_{\small{0}}^{\small{\dfrac{\pi}{4}}} \cfrac{1-\sin^3 x}{\cos^2 x}\space dx$

$=\displaystyle\int_{\small{0}}^{\small{\dfrac{\pi}{4}}} \cfrac{1}{\cos^2x}-\cfrac{\sin^3 x}{\cos^2 x}\space dx$

$(\tan x)’=\cfrac{1}{\cos^2x}$ の公式を用いて

$=\bigg[\tan x\bigg]_{\small{0}}^{\small{\dfrac{\pi}{4}}}-\displaystyle\int_{\small{0}}^{\small{\dfrac{\pi}{4}}} \cfrac{\sin^3 x}{\cos^2 x}\space dx$

$=1-\displaystyle\int_{\small{0}}^{\small{\dfrac{\pi}{4}}} \cfrac{\sin^2 x}{\cos^2 x}\cdot\sin x\space dx$

$=1-\displaystyle\int_{\small{0}}^{\small{\dfrac{\pi}{4}}} \cfrac{1-\cos^2 x}{\cos^2 x}\cdot\sin x\space dx$

$\cos x=t$ として

$\def\arraystretch{1.25}\begin{array}{c|c}x & 0\space\rightarrow\space\frac{\pi}{4}\\\hline t & 1\space\rightarrow\space\frac{1}{\sqrt{2}}\end{array}$

$-\sin x\space dx=dt$

$dx=-\cfrac{dt}{\sin x}$

(与式) $=1+\displaystyle\int_{\small{1}}^{\small{\dfrac{1}{\sqrt{2}}}} \cfrac{1-t^2}{t^2}\cdot\sin x\cdot\cfrac{dt}{\sin x}$

$\displaystyle=1+\displaystyle\int_{\small{1}}^{\small{\dfrac{1}{\sqrt{2}}}} \cfrac{1-t^2}{t^2}\space dt$

$\displaystyle=1+\displaystyle\int_{\small{1}}^{\small{\dfrac{1}{\sqrt{2}}}} t^{-2}-1\space dt$

$\displaystyle=1+\displaystyle\int_{\small{\dfrac{1}{\sqrt{2}}}}^{\small{1}} 1-t^{-2}\space dt$

$=1+\bigg[t-(-1)\cdot t^{-1}\bigg]_{\small{\dfrac{1}{\sqrt{2}}}}^{\small{1}}$

$=1+\bigg[t+t^{-1}\bigg]_{\small{\dfrac{1}{\sqrt{2}}}}^{\small{1}}$

$=1+(1+1)-\Big(\cfrac{1}{\sqrt{2}}+\sqrt{2}\Big)$

$=3-\Big(\cfrac{\sqrt{2}}{2}+\sqrt{2}\Big)$

$=3-\cfrac{3\sqrt{3}}{2}$ ・・・(答)

部分分数分解に持ち込む

$\displaystyle\int_{\small{0}}^{\small{\dfrac{\pi}{3}}}\cfrac{\tan x}{1+\cos x}\space dx$

$\displaystyle\int_{\small{0}}^{\small{\dfrac{\pi}{3}}}\cfrac{1}{1+\cos x}\cdot\cfrac{\sin x}{\cos x}\space dx$

$1+\cos x=t$ として

$-\sin x\space dx=dt$

$dx=-\cfrac{dt}{\sin x}$

$\def\arraystretch{1.25}\begin{array}{c|c}x & 0\space\rightarrow\space\frac{\pi}{3}\\\hline t & 2\space\rightarrow\space\frac{3}{2}\end{array}$

(与式)=$-\displaystyle\int_{\small{2}}^{\small{\dfrac{3}{2}}}\cfrac{1}{t}\cdot\cfrac{\sin x}{\cos x}\cdot\cfrac{dt}{\sin x}$

また $\cos x=t-1$ より

$=-\displaystyle\int_{\small{2}}^{\small{\dfrac{3}{2}}}\cfrac{1}{t(t-1)}\space dt$

$=\displaystyle\int_{\small{\dfrac{3}{2}}}^{\small{2}}\cfrac{1}{t(t-1)}\space dt$

$\cfrac{1}{t}-\cfrac{1}{t-1}=\cfrac{t-1-t}{t(t-1)}=-\cfrac{1}{t(t-1)}$

よって

$\cfrac{1}{t(t-1)}=\cfrac{1}{t-1}-\cfrac{1}{t}$

これを用いて

$=\displaystyle\int_{\small{\dfrac{3}{2}}}^{\small{2}}\cfrac{1}{t-1}-\cfrac{1}{t}\space dt$

 

$\displaystyle=\bigg[\log|t-1|-\log t\bigg]_{\small{2}}^{\small{\dfrac{3}{2}}}$

$=\Big(\log 1-\log 2\Big)-\Big(\log\cfrac{1}{2}-\log\cfrac{3}{2}\Big)$

$\log 1=0$ に注意して

$=-\log 2-\log\cfrac{1}{2}+\log\cfrac{3}{2}$

公式 $\log\cfrac{a}{b}=\log a-\log b$ より

$=-\log 2-\log 1+\log 2+\log 3-\log 2$

$=\log3-\log 2$

公式 $\log a-\log b=\log \cfrac{a}{b}$ より

$=\log \cfrac{3}{2}$ ・・・(答)