【数II高次方程式】解の一つが分かっているとき，他の解を求める

3次方程式 $x^3+ax^2+4x+b=0$ が解 $1+i$ をもつとき，実数の定数 $a,b$ の値を求めよ。また，$1+i$ 以外の解を求めよ。（青山学院大）

式を実部と虚部で整理する

とりあえず，解を代入してみましょう。

$x^3+ax^2+4x+b=0$ に $x=1+i$ を代入すると

$(1+i)^3+a(1+i)^2+4(1+i)+b=0$

ここは，公式 $(a+b)^3=a^3+3a^2b+3ab^2+b^3$ を思い出しましょう。

$1+3i-3-i+a(1+2i-1)+4+4i+b=0$
$2+6i+2ai+b=0$
$2+b+(6+2a)i=0$

このとき，式全体が $0$ であるなら，式の実数部分 $2+b$ は $0$ になり，また虚数部分 $6+2a$ も $0$ になります。

よって

$2+b=0$
$b=-2$ (答え)

また

$6+2a=0$
$a=-3$ (答え)

式が 0 となる x を見つける

よって，式は $x^3-3x^2+4x-2=0$ となります。

この式は $x=1$ を代入すると 左辺$=0$ となるので，$x=1$ が解であることはすぐに分かります。

共役な複素数も解になる

一般に，実数を係数とする $n$ 次方程式の解の1つが虚数ならば，その共役な複素数も解となります。
この問題で言えば，解の1つが $1+i$ なら，共役な複素数 $1-i$ も解となります。

これで，解がそろいました。

したがって，$1+i$ 以外の解は

$x=1,1-i$ (答え)