複素数の実部と虚部を求める／恒等式を満たす整数を求める(横浜国立大2020理系第2問)

次の問いに答えよ。

(1) 実数 $A,B,C,D$ に対して，複素数 $z$ を

$z=\cfrac{A+\sqrt{5}Bi}{C+\sqrt{5}Di}$

で定める。ただし，$C+\sqrt{5}Di\not=0$ とする。このとき，$z=x+yi$ をみたす実数 $x,y$ を $A,B,C,D$ の式で表せ。

(2) 次をみたす整数 $A,B,C,D$ を求めよ。

$\begin{cases}\cfrac{16+\sqrt{5}i}{29}=\cfrac{A+\sqrt{5}Bi}{C+\sqrt{5}Di}\\AD-BC=-1\\D>0\end{cases}$

分母を有理化する

(1)から始めます。

$z=x+yi$ の形にするということは，式を $i$ がついていない項（実部）と，$i$ がついている項（虚部）に分離するということです。

ここは分母を有理化して分母の $i$ をなくせば，うまくいきます。

$z=\cfrac{(A+\sqrt{5}Bi)(C-\sqrt{5}Di))}{(C+\sqrt{5}Di)(C-\sqrt{5}Di)}$
$=\cfrac{AC-\sqrt{5}ADi+\sqrt{5}BCi+5BD}{C^2+5D^2}$

実部と虚部に分けます。

$=\cfrac{AC+5BD}{C^2+5D^2}+\cfrac{\sqrt{5}(BC-AD)}{C^2+5D^2}i$

したがって

$x=\cfrac{AC+5BD}{C^2+5D^2}$，$y=\cfrac{\sqrt{5}(BC-AD)}{C^2+5D^2}$

（答え）

恒等式を整理する

(2)に進みます。

一番上の式の右辺をよく見てみると，これは(1)の $z$ と同じ式です。

$\cfrac{16+\sqrt{5}i}{29}=z$
$\cfrac{16}{29}+\cfrac{\sqrt{5}}{29}i=\cfrac{AC+5BD}{C^2+5D^2}+\cfrac{\sqrt{5}(BC-AD)}{C^2+5D^2}i$

ここで，虚数の恒等式の性質を利用しましょう。

よって

$\cfrac{AC+5BD}{C^2+5D^2}=\cfrac{16}{29}$　・・・①
$\cfrac{\sqrt{5}(BC-AD)}{C^2+5D^2}=\cfrac{\sqrt{5}}{29}$　・・・②

次に

$AD-BC=-1$　・・・③
$BC-AD=1$

②に代入すると

$\cfrac{\sqrt{5}}{C^2+5D^2}=\cfrac{\sqrt{5}}{29}$
$C^2+5D^2=29$　・・・④

①に代入すると

$\cfrac{AC+5BD}{29}=\cfrac{16}{29}$
$AC+5BD=16$　・・・⑤

ここで，新しい式ができました。ここから，問題を解く糸口をさぐっていきます。④の方が文字が少ないので，こちらから攻めましょう。

$C^2=29-5D^2$

$C^2$ は整数だから，$1,4,9,\cdots$ のいずれかになります。また，$D>0$ ということは $D$ は正の整数なので，右辺が $1,4,9,\cdots$ のいずれかになる $D$ の値を調べてみると良いでしょう。

$D=2$ のとき
$C^2=29-5\cdot2^2$
$=9$
$C=\pm3$

これを，③と⑤に代入してみます。

(i) $C=3$，$D=2$ のとき

③に代入して

$2A-3B=-1$

⑤に代入して

$3A+10B=16$

式を連立すると

$\begin{aligned}6A-9B=-3\\-)6A+20B=32\\\hline-29B=-35\\B=\cfrac{35}{29}\end{aligned}$

$B$ は整数だから，不適。

(ii) $C=-3$，$D=2$ のとき

③に代入して

$2A+3B=-1$

⑤に代入して

$-3A+10B=16$

式を連立すると

$\begin{aligned}6A+9B=-3\\+)-6A+20B=32\\\hline29B=29\\B=1\end{aligned}$

③に代入して

$2A+3\cdot1=-1$
$2A=-4$
$A=-2$

したがって
$(A,B,C,D)=(-2,1,-3,2)$　（答え）