漸化式が絶対値で表される数列の一般項を考える(神戸大2020理系第5問)

一般項を求める

漸化式が絶対値になっている数列は，式変形で一般項を求めることができません。

$p=3$ のとき

$x_1=\cfrac{1}{2^3+1}=\cfrac{1}{9}$
$x_2=|2x_1-1|=\Big|\cfrac{2}{9}-1\Big|=\cfrac{7}{9}$
$x_3=|2x_2-1|=\Big|\cfrac{14}{9}-1\Big|=\cfrac{5}{9}$
$x_4=|2x_3-1|=\Big|\cfrac{10}{9}-1\Big|=\cfrac{1}{9}$

したがって

$n=3k-2$ $(k=1,2,3,\cdots)$ のとき

$x_n=\cfrac{1}{9}$

$n=3k-1$ のとき

$x_n=\cfrac{7}{9}$

$n=3k$ のとき

$x_n=\cfrac{5}{9}$　（答え）

帰納法で証明する

(1)と同じようなことを $p$ をそのままにした状態で考えてみます。

$x_2=|2x_1-1|$
$=\Big|\cfrac{2}{2^p+1}-1\Big|$
$=\Big|\cfrac{2-2^p-1}{2^p+1}\Big|$
$=\Big|\cfrac{1-2^p}{2^p+1}\Big|$

$p$ は 2 以上の自然数なので，$1-2^p$ は負の数になります。また，$2^p+1$ は正の数になるので，全体としては負の数になるはずです。よって，符号を逆にして絶対値の記号を外します。

$=\cfrac{2^p-1}{2^p+1}$

$x_3=|2x_2-1|$
$=\Big|\cfrac{2(2^p-1)}{2^p+1}-1\Big|$
$=\Big|\cfrac{2^{p+1}-2-2^p-1}{2^p+1}\Big|$

$=\Big|\cfrac{2^p-3}{2^p+1}\Big|$

$p$ は 2 以上だから，絶対値の中は正の数です。

$=\cfrac{2^p-3}{2^p+1}$

さらに次の項を求めます。

$x_4=\Big|\cfrac{2(2^p-3)}{2^p+1}-1\Big|$
$=\Big|\cfrac{2^{p+1}-6-2^p-1}{2^p+1}\Big|$
$=\Big|\cfrac{2^p-7}{2^p+1}\Big|$

こうなると，絶対値の中は正の数になる場合と，負の数になる場合がでてきます。$p$ が 3 以上なら，絶対値の中は正の数です。

$x_5=\Big|\cfrac{2(2^p-7)}{2^p+1}-1\Big|$
$=\Big|\cfrac{2^{p+1}-14-2^p-1}{2^p+1}\Big|$
$=\Big|\cfrac{2^p-15}{2^p+1}\Big|$

$p$ が 4 以上なら，絶対値の中は正の数です。

ここから法則性が見えてきます。

たとえば，$p=3$ なら，$x_1,x_2,x_3,x_4$ は正の数ですが，$x_5$ 以降は分かりません。 また，$p=4$ としてそれぞれの項を求めると，$x_1$ から $x_5$ までは絶対値の中が正の数だと言えます。

とは言え，これで終わりではありません。$p$ が 2 以上の自然数のとき，すべての $p$ で $x_{p+1}=x_1$ が成り立つことを証明しなければなりません。

分子のうしろの項が，$-1,-3,-7,-15$ と変化していくところから一般項が推測できます。

$x_n=\cfrac{2^p-(2^{n-1}-1)}{2^p+1}$　$(n\leqq p+1)$

上の説明から，$n\leqq p+1$ という範囲がでてきます。

この式はあくまで仮定なので，本当に正しいかどうかはわかりません。$p$ が 2 と 3 のときは正しいことがわかっているだけです。そこで，帰納法で 2 以上のすべての $p$ で式が正しいことを証明してみましょう。

$p$ が 2 以上の自然数のとき

$x_n=\cfrac{2^p-(2^{n-1}-1)}{2^p+1}$　$(n\leqq p+1)$ ・・・（＊）
が成り立つと仮定すると

[I] $n=2$ のとき

$x_2=\Big|\cfrac{2}{2^p+1}-1\Big|$
$=\Big|\cfrac{2-2^p-1}{2^p+1}\Big|$
$=\Big|\cfrac{1-2^p}{2^p+1}\Big|$

$p$は2以上だから絶対値の中は負の値です。

$=\cfrac{2^p-1}{2^p+1}$

よって，（＊）は成り立つ。

[II] $n=k$ のとき（＊）が成り立つとして，$n=k+1$ のとき

$x_{k+1}=|2x_k-1|$
$=\Big|2\cdot\cfrac{2^p-(2^{k-1}-1)}{2^p+1}-1\Big|$
$=\Big|\cfrac{2^{p+1}-2^k+2-2^p-1}{2^p+1}\Big|$
$=\Big|\cfrac{2^p-2^k+1}{2^p+1}\Big|$

ここで，$2^p$ と $2^k$ を比べると

$n\leqq p+1$ より

$2^{k+1}\leqq2^{p+1}$
$2^k\leqq2^p$

絶対値の中は正の数です。

$=\cfrac{2^p-(2^k-1)}{2^p+1}$

[I]，[II]より $p$ が 2 以上のすべての自然数において

$x_n=\cfrac{2^p-(2^{n-1}-1)}{2^p+1}$　$(n\leqq p+1)$

が成り立つ。

ここで，$n=p+1$ とすると

$x_{p+1}=\cfrac{2^p-(2^p-1)}{2^p+1}$
$=\cfrac{1}{2^p+1}=x_1$　（証明終わり）