【数II不等式の証明】x^2+y^2+z^2-xy-yz-zxの因数分解の考え方（神戸大2021文系第2問）
$k,x,y,z$ を実数とする。$k$ が以下の(1)，(2)，(3)のそれぞれの場合に，不等式
$x^2+y^2+z^2+k(xy+yz+zx)\geqq0$
が成り立つことを示せ。また等号が成り立つのはどんな場合か。
(1) $k=2$
(2) $k=-1$
(3) $-1<k<2$
因数分解の公式
(1) $k=2$
ここは公式がありました。
公式 $(a+b+c)^2=a^2+b^2+c^2+2ab+2bc+2ca$
$x^2+y^2+z^2+2(xy+yz+zx)$
$=(x+y+z)^2\geqq0$
等号成立は $x=y=z=0$ のとき。（答え）
x^2+y^2+z^2-xy-yz-zxの因数分解
(2) $k=-1$
$x^2+y^2+z^2-xy-yz-zx$
これを因数分解します。
まず $(x-y)^2$ を展開すると
$(x-y)^2=x^2+y^2-2xy$ ・・・①
です。同様に
$(y-z)^2=y^2+z^2-2yz$ ・・・②
$(z-x)^2=z^2+x^2-2zx$ ・・・③
となります。①，②，③を足し合わせると
$(x-y)^2+(y-z)^2+(z-x)^2$
$=2x^2+2y^2+2z^2-2xy-2yz-2zx$
よって
$x^2+y^2+z^2-xy-yz-zx$
$=\cfrac{1}{2}\{(x-y)^2+(y-z)^2+(z-x)^2\}\geqq0$
等号成立は $x=y=z$ のとき。（答え）
(1)(2)の結果を利用する
(3) $-1<k<2$
何をやったらいいのか見当がつかないかもしれません。こういうときは(1)(2)の結果を利用することを考えます。
$x^2+y^2+z^2+2(xy+yz+zx)\geqq0$
$x^2+y^2+z^2-(xy+yz+zx)\geqq0$
これらと
$x^2+y^2+z^2+k(xy+yz+zx)$
を比べます。
たとえば，$2(xy+yz+zx)$ と $k(xy+yz+zx)$ の大小を比べるとすると，$xy+yz+zx$ が正の数か負の数かによって判断が分かれるでしょう。
$-1<k<2$ の範囲をもとにすると，
もし，$xy+yz+zx$ が正の数なら
$2(xy+yz+zx)>k(xy+yz+zx)$
が成り立ち，$xy+yz+zx$ が負の数なら
$2(xy+yz+zx)<k(xy+yz+zx)$
が成り立ちます。
今度は，$-(xy+yz+zx)$ と $k(xy+yz+zx)$ を比べます。
$xy+yz+zx$ が正の数なら
$-(xy+yz+zx)<k(xy+yz+zx)$
$xy+yz+zx$ 負の数なら
$-(xy+yz+zx)>k(xy+yz+zx)$
これらの関係を利用して証明しましょう。
(i) $xy+yz+zx=0$ のとき
$x^2+y^2+z^2\geqq0$
(ii) $xy+yz+zx<0$ のとき
$x^2+y^2+z^2+k(xy+yz+zx)>x^2+y^2+z^2+2(xy+yz+zx)\geqq0$
(iii) $xy+yz+zx>0$ のとき
$x^2+y^2+z^2+k(xy+yz+zx)>x^2+y^2+z^2-(xy+yz+zx)\geqq0$
(i),(ii),(iii)より
$x^2+y^2+z^2+k(xy+yz+zx)\geqq0$
が成り立つ。
また，等号成立は $x=y=z=0$ のとき。（証明終わり）
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