【数IA整数】正の約数の個数の求めかたをざっくり復習する（千葉大2019第3問）

約数の個数の求めかた

約数の数について簡単におさらいしましょう。

例えば，24 の約数を考えてみましょう。24 を素因数分解すると

$24=2^3\times3$

となります。あとは，2 と 3 の組合せで約数が作れます。

$2^0\times3^0,2^1\times3^0,2^2\times3^0,2^3\times3^0$
$2^0\times3^1,2^1\times3^1,2^2\times3^1,2^3\times3^1$

計算すると $1,2,4,8,3,6,12,24$ となり，これですべての約数が作れました。約数は 8 個です。

組合せを考えると，$2^0$ ～ $2^3$ の 4 通り，$3^0$ から $3^1$ の 2 通り，つまり 4 通り × 2 通り= 8 通り，という計算ができます。

おさらいが終わったところで，$d_5$，つまり約数が 5 個になる場合を考えてみましょう。

上でやったように，ある数が 2 種類の素数の積で表せるとします。上の例なら，$2^3\times3$ なら $4\times2=8$ 通りです。

○×△= 5 通り，というパターンを考えると，1 通り × 5 通り = 5 通りしかありません。

しかし上の例でやったように，素数が 3 なら $3^0$ と $3^1$ の 2 通りが出てきます。つまり 1 通りをつくることができないのです。

ということは約数が 5 個になるパターンは，何らかの素数の 4 乗のときだけ，ということになります。

この条件で 1900 以上の最も小さい数を求めると

$5^4=625$，$7^4=2401$

よって，$d_5=2401$　（答え）

2 つの素数の組合せで考える

(1)でやったことをさらに進めていきましょう。

もし，ある数が素数 1 個の積で表せる場合，もっとも小さい値は

$2^{14}=16384$

です。これはさすがに大きすぎる感じがします。

では，素数 2 個の組合せならどうでしょうか。

この場合は，5 通り × 3 通り = 15 通りとなるパターンが作れます。

これを，$x^4\cdot y^2$ とすると

$2^4\cdot3^2=144$
$2^4\cdot5^2=400$
$2^4\cdot7^2=784$
$2^4\cdot11^2=1936$

よって，$d_{15}=1936$　（答え）