【スマホで読む・わかりやすい】共通テスト数学IIB2022本試【解説・正解・問題】

1 2 3 4 5

第１問　正解
(ア,イ) (2, 5)　ウ 5　エ 3
オ 0　カ 0　キ,ク 1,2　ケ 1
コ, サ 4, 3　シ 5　ス 2　セ 8
ソ 1　タ 1　チ 3　ツ 0　テ 2

〔１〕(1)

D:x2+y2−4x−10y+4≦0D:x^2+y^2-4x-10y+4\leqq0

xx と yy について平方完成して円の方程式に持ち込むと良い。

(x−2)2−4+(y−5)2−25+4≦0(x-2)^2-4+(y-5)^2-25+4\leqq0
(x−2)2+(y−5)2≦25(x-2)^2+(y-5)^2\leqq25
(x−2)2+(y−5)2≦52(x-2)^2+(y-5)^2\leqq5^2

よって，領域 DD は，中心が点 (2,5)(2,5)，半径が 5 の円の③周および内部である。

・・・ア,イ,ウ,エ

(2)(i)

(1)により，直線 y=0y=0 は点 A を通る CC の接線の一つとなることがわかる。

・・・オ

(2)(ii)

直線と円の式を連立して，xx についての方程式をつくる。この方程式が 0◯\textsf{\textcircled{0}} 重解をもつとき，直線 ℓ\ell は円 CC の接線となる。

・・・カ

(2)(iii)

tan⁡θ=52−(−8)=510=12\tan\theta=\cfrac{5}{2-(-8)}=\cfrac{5}{10}=\cfrac{1}{2}

・・・キ,ク

また，直線 y=0y=0 と異なる接線の傾きは tan⁡2θ\tan2\theta と表すことができる。

・・・ケ

(2)(iv)

接線傾きが k0k_0 のとき，接線と xx 軸のなす角は 2θ2\theta だから，2θ=θ+θ2\theta=\theta+\theta として

加法定理

tan⁡(α+β)=α±β1∓tan⁡αtan⁡β\tan(\alpha+\beta)=\cfrac{\alpha\pm\beta}{1\mp\tan\alpha\tan\beta}

k0=tan⁡(θ+θ)k_0=\tan(\theta+\theta)
=tan⁡θ+tan⁡θ1−tan⁡θtan⁡θ=\cfrac{\tan\theta+\tan\theta}{1-\tan\theta\tan\theta}
=2tan⁡θ1−tan⁡2θ=\cfrac{2\tan\theta}{1-\tan^2\theta}
=2⋅121−(12)2=\cfrac{2\cdot\cfrac{1}{2}}{1-\Big(\cfrac{1}{2}\Big)^2}
=11−14=\cfrac{1}{1-\cfrac{1}{4}}
=134=\cfrac{\enspace1\enspace}{\cfrac{3}{4}}
=1×434×4=\cfrac{1\times4}{\cfrac{3}{4}\times4}
=43=\cfrac{4}{3}

・・・コ,サ

直線 ℓ\ell と領域 DD が共有点をもつような kk の値の範囲は⑤0≦k≦k00\leqq k\leqq k_0 である。

・・・シ

〔２〕(1)

log⁡39=3\log_39=3

・・・ア

log⁡14x=−32\log_{\small{\frac{1}{4}}}x=-\cfrac{3}{2}

とすると

x=(14)−32x=\Big(\cfrac{1}{4}\Big)^{\small{-\frac{3}{2}}}
=432=4^{\small{\frac{3}{2}}}
=23=8=2^3=8

・・・セ

(2)

log⁡ab=t\log_ab=t ・・・①

より

at=ba^t=b

・・・ソ

log⁡ba=1t\log_ba=\cfrac{1}{t} ・・・②

より

a=b1ta=b^{\small{\frac{1}{t}}}

・・・タ

(3)

③と④より，log⁡ab>log⁡ba\log_ab>\log_ba すなわち t>1tt>\cfrac{1}{t} を満たすのは，1<t<01<t<0，1<t1<t のときであることがわかる。

これをもとに，a>1a>1 のときを考える。

まず，log⁡ab=t\log_ab=t について，t>1t>1 のときを考える。

ここは，ためしに具体的な値を当てはめて考えてみると良い。

たとえば，a=2,t=2a=2,t=2 とすると

b=22=4b=2^2=4

となるので，a<ba<b である。

次に，−1<t<0-1<t<0 のときを考える。

たとえば，a=2,t=−12a=2,t=-\cfrac{1}{2} とすると

b=2−12b=2^{\small{-\frac{1}{2}}}
=(12)12=\Big(\cfrac{1}{2}\Big)^{\small{\frac{1}{2}}}
=1212=\cfrac{1}{2^{\small{\frac{1}{2}}}}

となる。

1a=12\cfrac{1}{a}=\cfrac{1}{2} と 1212\cfrac{1}{2^{\small{\frac{1}{2}}}} を比べると

12<1212\cfrac{1}{2}<\cfrac{1}{2^{\small{\frac{1}{2}}}}
1a<b\cfrac{1}{a}<b

が成り立つことがわかる。

また，aa が 1 以上で，tt が負の値であれば，bb は 1 より小さくなる。

したがって

③ 1a<b<1\cfrac{1}{a}<b<1，a<ba<b

が適する。

・・・チ

今度は，0<a<10<a<1 のときを考える。

まず，t>1t>1 の例として，a=12a=\cfrac{1}{2}，t=2t=2 とすると

b=(12)2=14b=\Big(\cfrac{1}{2}\Big)^2=\cfrac{1}{4}

となるので，b<ab<a である。

また，bb は真数条件より 0<b0<b である。

次に，−1<t<0-1<t<0 のときを考える。

たとえば，a=12a=\cfrac{1}{2}，t=−12t=-\cfrac{1}{2} とすると

b=(12)−12=212b=\Big(\cfrac{1}{2}\Big)^{-\small{\frac{1}{2}}}=2^{\small{\frac{1}{2}}}

となるので，b<1ab<\cfrac{1}{a} が成り立つ。

したがって

0◯\textsf{\textcircled{0}} 0<b<a0<b<a，1<b<1a1<b<\cfrac{1}{a}

が適する。

・・・ツ

(4)

(3)の条件を整理すると

a>1a>1 のとき

1a<b<1\cfrac{1}{a}<b<1 または a<ba<b

0<a<10<a<1 のとき

0<b<a0<b<a または 1<b<1a1<b<\cfrac{1}{a}

ならば

log⁡ab>log⁡ba\log_ab>\log_ba

が成り立つ。

qq が 1 より大きい値なので，a=q=1211,b=p=1213a=q=\cfrac{12}{11},b=p=\cfrac{12}{13} とすると

1a<b<1\cfrac{1}{a}<b<1 は

1112<1213<1\cfrac{11}{12}<\cfrac{12}{13}<1

となるので，log⁡pq<log⁡qp\log_pq<\log_qp

が成り立つ。

1211\cfrac{12}{11} と 1213\cfrac{12}{13} を比べるときには分母の値を合わせると良い。

1112,1213\cfrac{11}{12},\cfrac{12}{13}
11⋅1312⋅13,12⋅1212⋅13\cfrac{11\cdot13}{12\cdot13},\cfrac{12\cdot12}{12\cdot13}
14312⋅13,14412⋅13\cfrac{143}{12\cdot13},\cfrac{144}{12\cdot13}

となるので，1112<1213\cfrac{11}{12}<\cfrac{12}{13} である。

次に，rr が 1 より大きい値なので，a=r=1413,b=p=1213a=r=\cfrac{14}{13},b=p=\cfrac{12}{13} とすると

0<b<a0<b<a は

0<1213<14130<\cfrac{12}{13}<\cfrac{14}{13}

となるので

log⁡pr>log⁡rp\log_pr>\log_rp

が成り立つ。よって②が正しい。

・・・テ

問題文

第１問

〔１〕 座標平面上に点 A(−8,0)(-8,0) をとる。また，不等式

x2+y2−4x−10y+4<≦0x^2+y^2-4x-10y+4<\leqq0
の表す領域を DD とする。

(1) 領域 DD は，中心が点 (ア,イ)(\boxed{\enspace\textsf{ア}\enspace},\boxed{\enspace\textsf{イ}\enspace})，半径が ウ\boxed{\enspace\textsf{ウ}\enspace} の円の エ\boxed{\boxed{\enspace\textsf{エ}\enspace}} である。

エ\boxed{\boxed{\enspace\text{エ}\enspace}} の解答群

0◯\textsf{\textcircled{0}} 周　① 内部　② 外部
③ 周および内部　④ 周および外部

以下，点(ア,イ)(\boxed{\enspace\text{ア}\enspace},\boxed{\enspace\text{イ}\enspace}) を Q とし，方程式

x2+y2−4x−10y+4=0x^2+y^2-4x-10y+4=0
の表す図形を CC とする。

(2) 点 A を通る直線と領域 DD が共有点をもつのはどのようなときかを考えよう。

(i) (1) により，直線 y=オy=\boxed{\enspace\textsf{オ}\enspace} は点 A を通る CC の接線の一つとなることがわかる。

太郎さんと花子さんは点 A を通る CC のもう一つの接線について話している。

点 A を通り，傾きが kk の直線を ℓ\ell とする。

太郎：直線 ℓ\ell の方程式は y=k(x+8)y=k(x+8) と表すことができるから，これを

x2+y2−4x−10y+4=0x^2+y^2-4x-10y+4=0

に代入することで接線を求められそうだね。

花子：xx 軸と直線 AQ のなす角のタンジェントに着目することでも求められそうだよ。

(ii) 太郎さんの求め方について考えてみよう。

y=k(x+8)y=k(x+8) を x2+y2−4x−10y+4=0x^2+y^2-4x-10y+4=0 に代入すると，xx についての 2 次方程式

(k2+1)x2+(16k2−10k−4)x+64k2−80k+4=0(k^2+1)x^2+(16k^2-10k-4)x+64k^2-80k+4=0

が得られる。この方程式が カ\boxed{\boxed{\enspace\textsf{カ}\enspace}} ときの kk の値が接線の傾きとなる。

カ\boxed{\boxed{\enspace\text{カ}\enspace}} の解答群

0◯\textsf{\textcircled{0}} 重解をもつ
① 異なる二つの実数解をもち，一つは 0 である
② 異なる二つの正の実数解をもつ
③ 正の実数解と負の実数解をもつ
④ 異なる二つの負の実数解をもつ
⑤ 異なる二つの虚数解をもつ

(iii) 花子さんの求め方について考えてみよう。

xx 軸と直線 AQ のなす角を θ(0<θ≦π2)\theta\Big(0<\theta\leqq\cfrac{\pi}{2}\Big) とすると

tan⁡θ=キク\tan\theta=\cfrac{\boxed{\enspace\textsf{キ}\enspace}}{\boxed{\enspace\textsf{ク}\enspace}}

であり，直線 y=オy=\boxed{\enspace\text{オ}\enspace} と異なる接線の傾きは tan⁡ケ\tan\boxed{\boxed{\enspace\textsf{ケ}\enspace}} と表すことができる。

ケ\boxed{\boxed{\enspace\text{ケ}\enspace}} の解答群

0◯\textsf{\textcircled{0}} θ\theta　① 2θ2\theta　② (θ+π2)\Big(\theta+\cfrac{\pi}{2}\Big)
③ (θ−π2)\Big(\theta-\cfrac{\pi}{2}\Big)　④ (θ+π)(\theta+\pi)　⑤ (θ−π)(\theta-\pi)
⑥ (2θ+π2)\Big(2\theta+\cfrac{\pi}{2}\Big)　⑦ (2θ−π2)\Big(2\theta-\cfrac{\pi}{2}\Big)

(iv) 点 A を通る CC の接線のうち，直線 y=オy=\boxed{\enspace\text{オ}\enspace} と異なる接線の傾きを k0k_0 とする。このとき，(ii)または(iii)の考え方を用いることにより

k0=コサk_0=\cfrac{\boxed{\enspace\textsf{コ}\enspace}}{\boxed{\enspace\textsf{サ}\enspace}}

であることがわかる。

直線 ellell と領域 DD が共有点をもつような kk の値の範囲は

シ\boxed{\boxed{\enspace\textsf{シ}\enspace}} である。

シ\boxed{\boxed{\enspace\text{シ}\enspace}} の解答群

0◯\textsf{\textcircled{0}} k>k0k>k_0　① k≧k0k\geqq k_0
② k<k0k<k_0　③ k≦k0k\leqq k_0
④ 0<k<k00<k<k_0　⑤ 0≦k≦k00\leqq k\leqq k_0

〔２〕 a,ba,b は正の実数であり，a≠1,b≠1a\not=1,b\not=1 を満たすとする。太郎さんは log⁡ab\log_ab と log⁡ba\log_ba の大小関係を調べることにした。

(1) 太郎さんは次のような考察をした。

まず，log⁡39=ス\log_39=\boxed{\enspace\textsf{ス}\enspace}，log⁡93=1ス\log_93=\cfrac{1}{\boxed{\enspace\text{ス}\enspace}} である。この場合

log⁡39>log⁡93\log_39>\log_93

が成り立つ。

一方，log⁡14セ=−32\log_{\small{\frac{1}{4}}}\boxed{\enspace\textsf{セ}\enspace}=-\cfrac{3}{2}，log⁡セ14=−23\log_{\boxed{\text{セ}}}\cfrac{1}{4}=-\cfrac{2}{3} である。この場合

log⁡14セ<log⁡セ14\log_{\small{\frac{1}{4}}}\boxed{\enspace\text{セ}\enspace}<\log_{\boxed{\text{セ}}}\cfrac{1}{4}

が成り立つ。

(2) ここで

log⁡ab=t\log_ab=t　・・・①
とおく。

(1)の考察をもとにして，太郎さんは次の式が成り立つと推測し，それが正しいことを確かめることにした。

log⁡ba=1t\log_ba=\cfrac{1}{t} ・・・②

① により，ソ\boxed{\boxed{\enspace\textsf{ソ}\enspace}} である。このことにより タ\boxed{\boxed{\enspace\textsf{タ}\enspace}} が得られ，②が成り立つことが確かめられる。

ソ\boxed{\boxed{\enspace\text{ソ}\enspace}} の解答群

0◯\textsf{\textcircled{0}} ab=ta^b=t　① at=ba^t=b　② ba=tb^a=t
③ bt=ab^t=a　④ ta=bt^a=b　⑤ tb=at^b=a

タ\boxed{\boxed{\enspace\text{タ}\enspace}} の解答群

0◯\textsf{\textcircled{0}} a=t1ba=t^{\small{\frac{1}{b}}}　① a=b1ta=b^{\small{\frac{1}{t}}}　② b=t1ab=t^{\small{\frac{1}{a}}}
③ b=a1tb=a^{\small{\frac{1}{t}}}　④ t=b1at=b^{\small{\frac{1}{a}}}　⑤ t=a1bt=a^{\small{\frac{1}{b}}}

(3) 次に太郎さんは(2)の考察をもとにして

t>1tt>\cfrac{1}{t}　・・・③

を満たす実数 t(t≠0)t(t\not=0) の値の範囲を求めた。

太郎さんの考察

t>0t>0 ならば，③の両辺に tt を掛けることにより，t2>1t^2>1 を得る。このような t(t>0)t(t>0) の値の範囲は 1<t1<t である。
t<0t<0 ならば，③ の両辺に tt を掛けることにより，t2<1t^2<1 を得る。このような t(t<0)t(t<0) の値の範囲は 1<t<01<t<0 である。

この考察により，③を満たす t(t≠0)t(t\not=0) の値の範囲は

−1<t<0,1<t-1<t<0,1<t

であることがわかる。

ここで，aa の値を一つ定めたとき，不等式

log⁡ab>log⁡ba\log_ab>\log_ba　・・・・④

を満たす実数 b(b>0,b≠1)b(b>0,b\not=1) の値の範囲について考える。

④を満たす bb の値の範囲は，a>1a>1 のときは チ\boxed{\boxed{\enspace\textsf{チ}\enspace}} であり，0<a<10<a<1 のときは ツ\boxed{\boxed{\enspace\textsf{ツ}\enspace}} である。

チ\boxed{\boxed{\enspace\text{チ}\enspace}} の解答群

0◯\textsf{\textcircled{0}} 0<b<1a,1<b<a0<b<\cfrac{1}{a},1<b<a　① 0<b<1a,a<b0<b<\cfrac{1}{a},a<b
② 1a<b<1,1<b<a\cfrac{1}{a}<b<1,1<b<a　③ 1a<b<1,a<b\cfrac{1}{a}<b<1,a<b

ツ\boxed{\boxed{\enspace\text{ツ}\enspace}} の解答群

0◯\textsf{\textcircled{0}} 0<b<a,1<b<1a0<b<a,1<b<\cfrac{1}{a}　① 0<b<a,1a<b0<b<a,\cfrac{1}{a}<b
② a<b<1,1<b<1aa<b<1,1<b<\cfrac{1}{a}　③ a<b<1,1a<ba<b<1,\cfrac{1}{a}<b

(4) p=1213,q=1211,r=1413p=\cfrac{12}{13},q=\cfrac{12}{11},r=\cfrac{14}{13} とする。

次の 0◯\textsf{\textcircled{0}} ～ ③ のうち，正しいものは テ\boxed{\boxed{\enspace\textsf{テ}\enspace}} である。

テ\boxed{\boxed{\enspace\text{テ}\enspace}} の解答群

0◯\textsf{\textcircled{0}} log⁡pq>log⁡qp\log_pq>\log_qp かつ log⁡pr>log⁡rp\log_pr>\log_rp
① log⁡pq>log⁡qp\log_pq>\log_qp かつ log⁡pr<log⁡rp\log_pr<\log_rp
② log⁡pq,log⁡qp\log_pq,\log_qp かつ log⁡pr>log⁡rp\log_pr>\log_rp
③ log⁡pq<log⁡qp\log_pq<\log_qp かつ log⁡pr<log⁡rp\log_pr<\log_rp

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