積分を漸化式で求める。In，In+1 に置き換え(東京都立大2019理系第2問)

$n$ を自然数とするとき，以下の問いに答えなさい。（東京都立大2019）

(1) $f(x)=\cfrac{1}{(x^2+1)^n}$ の導関数を求めなさい。

(2) $\displaystyle I_n=\int_0^1\cfrac{1}{(x^2+1)^n}\space dx$ とおく。$\cfrac{1}{(x^2+1)^n}=(x)’\times\cfrac{1}{(x^2+1)^n}$ であることを利用して，等式

$I_{n+1}=\cfrac{1}{2n}\Big\{(2n-1)I_n+\cfrac{1}{2^n}\Big\}$

が成り立つことを示しなさい。

(3) 定積分 $\displaystyle\int_0^1\cfrac{1}{(x^2+1)^3}\space dx$ の値を求めなさい。

商の導関数

(1)から始めます。

分数式の微分は公式がありました。

これを使っていきましょう。

$f(x)=\cfrac{1}{(x^2+1)^n}$
$f'(x)=-\cfrac{\{(x^2+1)^n\}’}{\{(x^2+1)^n\}^2}$
$=-\cfrac{n(x^2+1)^{n-1}\cdot2x}{(x^2+1)^{2n}}$

$=-\cfrac{2nx(x^2+1)^{n-1}}{(x^2+1)^{2n}}$

$(x^2+1)$ の部分を整理します。$n-1-2n=-n-1=-(n+1)$ だから

$=-\cfrac{2nx}{(x^2+1)^{n+1}}$　（答え）

漸化式を作る

(2)に進みます。

$\cfrac{1}{(x^2+1)^n}=(x)’\times\cfrac{1}{(x^2+1)^n}$ という式は，要するに部分積分をしなさいということです。

$\displaystyle I_n=\int_0^1(x)’\times\cfrac{1}{(x^2+1)^n}\space dx$

(1)より

$\displaystyle=\Bigg[x\times\cfrac{1}{(x^2+1)^n}\Bigg]_0^1+\int_0^1x\times\cfrac{2nx}{(x^2+1)^{n+1}}\space dx$
$\displaystyle=\cfrac{1}{2^n}+2n\int_0^1\cfrac{x^2}{(x^2+1)^{n+1}}\space dx$

$\displaystyle=\cfrac{1}{2^n}+2n\int_0^1\cfrac{x^2+1-1}{(x^2+1)^{n+1}}\space dx$

$\displaystyle=\cfrac{1}{2^n}+2n\int_0^1\Big\{\cfrac{x^2+1}{(x^2+1)^{n+1}}-\cfrac{1}{(x^2+1)^{n+1}}\Big\}\space dx$
$\displaystyle=\cfrac{1}{2^n}+2n\int_0^1\Big\{\cfrac{1}{(x^2+1)^n}-\cfrac{1}{(x^2+1)^{n+1}}\Big\}\space dx$

よって

$I_n=\cfrac{1}{2^n}+2n(I_n-I_{n+1})$
$I_n=\cfrac{1}{2^n}+2nI_n-2nI_{n+1}$
$2nI_{n+1}=(2n-1)I_n+\cfrac{1}{2^n}$
$I_{n+1}=\cfrac{1}{2^n}\Big\{(2n-1)I_n+\cfrac{1}{2^n}\Big\}$

（証明終わり）

漸化式に代入する

(3)に進みます。

$\displaystyle\int_0^1\cfrac{1}{(x^2+1)^3}\space dx$ は，$n=3$ のときであり，つまり$I_3$ のことです。

(2) で漸化式を作ったので，$I_1$ が求められれば $I_2$ が分かり，$I_2$ が求められれば $I_3$ が分かります。順番に処理していきましょう。

$\displaystyle I_1=\int_0^1\cfrac{1}{x^2+1}\space dx$

分母に $1+x^2$ の形が来たときには $\tan$ で置換積分しましょう。

$x=\tan\theta$ として
$dx=\cfrac{1}{\cos^2\theta}\space d\theta$
$\def\arraystretch{1.5}\begin{array}{c|c}x&0&\rightarrow&1\\\hline \theta&0&\rightarrow&\frac{\pi}{4}\end{array}$

$\displaystyle I_1=\int_0^{\small{\frac{\pi}{4}}}\cfrac{1}{1+\tan^2\theta}\cdot\cfrac{1}{\cos^2\theta}\space d\theta$
$\displaystyle =\int_0^{\small{\frac{\pi}{4}}}\cfrac{1}{\cfrac{1}{\cos^2\theta}}\cdot\cfrac{1}{\cos^2\theta}\space d\theta$
$\displaystyle =\int_0^{\small{\frac{\pi}{4}}}\space d\theta$
$=\Big[\theta\Big]_0^{\small{\frac{\pi}{4}}}=\cfrac{\pi}{4}$

これを(2)の漸化式に代入します。

$I_2=\cfrac{1}{2\cdot1}\Big\{(2\cdot1-1)\cdot\cfrac{\pi}{4}+\cfrac{1}{2^1}\Big\}$
$=\cfrac{\pi}{8}+\cfrac{1}{4}$
$I_3=\cfrac{1}{2\cdot2}\Big\{(2\cdot2-1)\Big(\cfrac{\pi}{8}+\cfrac{1}{4}\Big)+\cfrac{1}{2^2}\Big\}$
$=\cfrac{1}{4}\Big\{\cfrac{3\pi}{8}+\cfrac{3}{4}+\cfrac{1}{4}\Big\}$
$=\cfrac{3\pi}{32}+\cfrac{1}{4}$　（答え）