【スマホで読む・わかりやすい】センター数学IA2018本試【解説・正解・問題】

第3問　解答・解説

ア イ 1 6　ウ エ 1 6　オ カ 1 9

キ ク 1 4　ケ コ 1 6　サ 1　シ 2

ス セソタ 1 432　チ ツテ 1 81

(1)

$P(A)=\cfrac{1}{6}$

・・・アイ

$B$ は 1－6，2－5，3－4，4－3，5－2，6－1 の 6 通り

$P(B)=\cfrac{6}{36}=\cfrac{1}{6}$

・・・ウエ

$C$ は 3－6，4－5，5－4，6－3 の 4 通り

$P(C)=\cfrac{4}{36}=\cfrac{1}{9}$

・・・オカ

(2)

事象 $C$ が起こったときの事象 $A$ が起こる条件付き確率は $\cfrac{P(C\cap A)}{P(A)}$ である。

$C\cap A$ は，和が 9 で大きいさいころの目が 4 のときだから，4－5 の 1 通り。

$\cfrac{\space\cfrac{1}{36}\space}{\cfrac{1}{9}}=\cfrac{\space\cfrac{1}{36}\times36\space}{\cfrac{1}{9}\times36}=\cfrac{1}{4}$

・・・キク

また，事象 $A$ が起こったときの事象 $C$ が起こる条件付き確率は，$\cfrac{P(A\cap C)}{P(C)}$

$\cfrac{\space\cfrac{1}{36}\space}{\cfrac{1}{6}}=\cfrac{\space\cfrac{1}{36}\times36\space}{\cfrac{1}{6}\times36}=\cfrac{1}{6}$

・・・ケコ

(3)

$A\cap B$ は，大きいさいころの目が 4 で和が 7 のときだから，4－3 の 1 通り。

$P(A\cap B)=\cfrac{1}{36}$

また

$P(A)P(B)=\cfrac{1}{6}\cdot\cfrac{1}{6}=\cfrac{1}{36}$

したがって

$P(A\cap B)=P(A)P(B)$

・・・サ

次に，$A\cap C$ は $C\cap A$ と同じだから

$P(C\cap A)=\cfrac{1}{36}$

また

$P(A)P(C)=\cfrac{1}{6}\cdot\cfrac{1}{9}=\cfrac{1}{54}$

したがって

$P(A\cap C)$ ＞ $P(A)P(C)$

・・・シ

(4)

$\overline{A}\cap C$ は，大きいサイコロの目が 4 以外で和が 9 のときだから，3－6，5－4，6－3 の 3 通り。

$P(\overline{A}\cap C)=\cfrac{3}{36}=\cfrac{1}{12}$

したがって

$P(A\cap B)P(\overline{A}\cap C)=\cfrac{1}{36}\cdot\cfrac{1}{12}=\cfrac{1}{432}$

・・・スセソタ

次に，三つの事象 $A$，$B$，$C$ がいずれもちょうど 1 回ずつ起こる確率を考える。

事象 $B$ と $C$ は互いに排反だから，求める確率は $(A\cap B)\cap(\overline{A}\cap C)$ と $(A\cap C)\cap(\overline{A}\cap B)$ の和である。

$P(\overline{A}\cap C)=\cfrac{1}{12}$ より

$P(A\cap B)P(\overline{A}\cap C)=\cfrac{1}{36}\cdot\cfrac{1}{12}=\cfrac{1}{432}$

これが，$A\cap B$，$\overline{A}\cap C$ の順に起こるときと，$\overline{A}\cap C$，$A\cap B$ の順に起こるときがあるから

$\cfrac{1}{432}\cdot2=\cfrac{1}{216}$

また

$\overline{A}\cap B$ は，大きいさいころの目が 4 以外で和が 7 のときだから，1－6，2－5，3－4，5－2，6－1 の 5 通り。

$P(\overline{A}\cap B)=\cfrac{5}{36}$

$P(A\cap C)P(\overline{A}\cap B)=\cfrac{1}{36}\cdot\cfrac{5}{36}=\cfrac{5}{1296}$

上と同様に

$\cfrac{5}{1296}\cdot2=\cfrac{5}{648}$

したがって

$\cfrac{1}{216}+\cfrac{5}{648}=\cfrac{6+10}{1296}=\cfrac{1}{81}$

・・・チツテ

第３問　問題文

一般に，事象A の確率を $P(A)$ で表す。また，事象 $A$ の余事象を $\overline{A}$ と表し，二つの事象 $A$，$B$ の積事象を $A$ ∩ $B$ と表す。

大小 2 個のさいころを同時に投げる試行において

$A$ を「大きいさいころについて，4 の目が出る」という事象

$B$ を「2 個のさいころの出た目の和が 7 である」という事象

$C$ を「2 個のさいころの出た目の和が 9 である」という事象とする。

(1) 事象 $A$，$B$，$C$ の確率は，それぞれ

$P(A)=\cfrac{\boxed{\text{ア}}}{\boxed{\text{イ}}}$，
$P(B)=\cfrac{\boxed{\text{ウ}}}{\boxed{\text{エ}}}$，$P(C)=\cfrac{\boxed{\text{オ}}}{\boxed{\text{カ}}}$

である。

(2) 事象 $C$ が起こったときの事象 $A$ が起こる条件付き確率は $\cfrac{\boxed{\text{キ}}}{\boxed{\text{ク}}}$ であり，事象 $A$ が起こったときの事象 $C$ が起こる条件付き確率は $\cfrac{\boxed{\text{ケ}}}{\boxed{\text{コ}}}$ である。

(3) 次の $\boxed{\text{サ}}$，$\boxed{\text{シ}}$ に当てはまるものを，下の⓪～②のうちからそれぞれ一つ選べ。ただし，同じものを繰り返し選んでもよい。

$P(A$∩$B)\boxed{\text{サ}}P(A)P(B)$

$P(A$∩$C)\boxed{\text{シ}}P(A)P(C)$

⓪ ＜　① ＝　② ＞

(4) 大小 2 個のさいころを同時に投げる試行を 2 回繰り返す。1 回目に事象 $A$∩$B$ が起こり，2 回目に事象 $\overline{A}$∩$C$ が起こる確率は $\cfrac{\boxed{\text{ス}}}{\boxed{\text{セソタ}}}$ である。三つの事象 $A$，$B$，$C$ がいずれもちょうど 1 回ずつ起こる確率は $\cfrac{\boxed{\text{チ}}}{\boxed{\text{ツテ}}}$ である。