【スマホで読む・わかりやすい】共通テスト数学IA2022本試【解説・正解・問題】

第３問　正解

ア 1　イ,ウ 1, 2　エ 2　オ,カ 1, 3
キク,ケコ 65, 81　サ 8　シ 6
スセ 15　ソ,タ 3, 8　チツ,テト 11, 30
ナニ,ヌネ 44, 53

(1)(i)

A が B のプレゼントを受け取り，B が A のプレゼントを受け取る方法は 1 通り

・・・ア

また，全事象を考える。A は A か B のプレゼントを受け取るので 2 通り。B は残りの 1 つを受け取るので 1 通り。

つまり，全事象は $2!=1$ 通り。

したがって，1 回目の交換で交換会が終了する確率は

$\cfrac{1}{2}$

・・・イウ

(1)(ii)

3 人で交換会を開く場合，A は A，B，C のいずれかのプレゼントを受け取り，B は残りの 2 つから 1 つ，C は残りの 1 つを受け取るので，全事象は

$3!=6$ 通り

である。

このとき，3 人それぞれが自分以外のプレゼントを受け取るとする。

A が B のプレゼントを受け取る場合，B は C，C は A のプレゼントを受け取ればよい。また，A が C のプレゼントを受け取る場合も同様なので，2 通りある。

・・・エ

したがって，1 回目の交換で交換会が終了する確率は

$\cfrac{2}{6}=\cfrac{1}{3}$

・・・オカ

(1)(iii)

余事象を考えるとよい。

(ii)より，交換会が終了しない確率は

$1-\cfrac{1}{3}=\cfrac{2}{3}$

交換会が終了しない場合が 4 回連続で起こるとして，全事象から引くと

$1-\Big(\cfrac{2}{3}\Big)^4=1-\cfrac{16}{81}$
$=\cfrac{65}{81}$

・・・キクケコ

(2)

4 人のうち，ちょうど 1 人が自分のプレゼントを受け取る場合を考える。

A が自分のプレゼントを受け取るとすると，その方法は 1 通りである。

このとき B，C，D の 3 人は自分以外のプレゼントを受け取る。これは (ii) より 2 通りである。

よって，A が自分のプレゼントを受け取り，残りの 3 人が自分以外のプレゼントを受け取る方法は $1\times2=2$ 通り。

これが A，B，C，D についてそれぞれあるので

$2\times{}_4\text{C}_1=8$　通り

・・・サ

次にちょうど 2 人が自分のプレゼントを受け取る場合を考える。

A，B の 2 人がそれぞれ自分のプレゼントを受け取るとすると，その方法は 1 通り。

このとき，C，D の 2 人は自分以外のプレゼントを受け取るので 1 通り。

よって，A，B の 2 人がそれぞれ自分のプレゼントを受け取り，C，D の 2 人は自分以外のプレゼントを受け取る方法は $1\times1=1$ 通り。

4 人のうち 2 人が自分のプレゼントを受け取る方法は ${}_4\text{C}_2$ 通りあるので

$1\times{}_4\text{C}_2=\cfrac{4\times3}{2}$
$=6$ 通り

・・・シ

さらに，ちょうど 3 人が自分のプレゼントを受け取る方法を考える。

しかし，A，B，C が自分のプレゼントを受け取ると，D も自分のプレゼントを受け取ることになるので，ちょうど 3 人が自分のプレゼントを受け取る方法はない。

また，4 人がそれぞれ自分のプレゼントを受け取る方法は 1 通り。

したがって，1 回目の交換で交換会が終了しない受け取り方の総数は

$8+6+1=15$ 通り

・・・スセ

さらに 1 回目の交換で交換会が終了する確率を求める。

まず，A が 4 つのうち 1 つを受け取り，B が残り 3 つのうち 1 つを受け取り・・・，と考えると，全事象は 4! 通りである。

余事象を用いて，確率を求めると

$1-\cfrac{15}{4!}=1-\cfrac{15}{2\cdot3\cdot4}$
$=1-\cfrac{5}{8}$
$=\cfrac{3}{8}$

・・・ソタ

(3)

(2)の構想を踏まえて 5 人について考えるとよい。

1 人が自分のプレゼントを受け取る場合，残り 4 人は自分以外のプレゼントを受け取ることになるので，(2)の結果を利用してすべての組合せから 15 通りを引けばよい。よって

$4!-15=24-15=9$ 通り

これが A，B, C，D，E それぞれあるので

$9\times{}_5\text{C}_1=45$ 通り

2 人が自分のプレゼントを受け取る場合，残り 3 人は自分以外のプレゼントを受け取ることになるので，2 通り。

これが，${}_5\text{C}_2$ 通りあるので

$2\times{}_5\text{C}_2$
$=2\times\cfrac{5\times4}{2}$
$=20$ 通り

3 人が自分のプレゼントを受け取る場合，残り 2 人は自分以外のプレゼントを受け取ることになるので，(1)(i) より 1 通り。

これが，${}_5\text{C}_3$ 通りあるので

$1\times{}_5\text{C}_3$
$={}_5\text{C}_2$
$=20$ 通り

(2) と同様，4 人が自分のプレゼントを受け取ると，残り 1 人も自分のプレゼントを受け取ることになる。

・5 人が自分のプレゼントを受け取る方法は 1 通り。

したがって

$1-\cfrac{45+20+20+1}{5!}$
$=1-\cfrac{76}{2\cdot3\cdot4\cdot5}$
$=1-\cfrac{19}{30}$
$＝\cfrac{11}{30}$

・・・チツテト

(4)

1 回目の交換で A，B，C，D がそれぞれ自分以外の人の持参したプレゼントを受け取るのは，5 人全員が自分以外のプレゼントを受け取る場合と，E だけが自分のプレゼントを受け取る場合である。

(3) より，5 人全員が自分以外のプレゼントを受け取る確率は $\cfrac{11}{30}$

E の 1 人だけが自分のプレゼントを受け取る方法は (3) より 9 通りあるので，その確率は $\cfrac{9}{5!}$

交換会が終了するのは，5 人全員が自分以外のプレゼントを受け取るときだから，その確率は $\cfrac{11}{30}$

したがって求める条件付き確率は

$\cfrac{\cfrac{11}{30}}{\cfrac{11}{30}+\cfrac{9}{5!}}$
$=\cfrac{\cfrac{11}{30}}{\cfrac{11}{30}+\cfrac{3}{40}}$
$=\cfrac{\cfrac{11}{30}\times120}{\Big(\cfrac{11}{30}+\cfrac{3}{40}\Big)\times120}$
$=\cfrac{44}{44+9}$
$=\cfrac{44}{53}$

・・・ナニヌネ

問題文

第３問（第３問～第５問は，いずれか２問を選択肢，解答しなさい。）

複数人がそれぞれプレゼントを一つずつ持ち寄り，交換会を開く。ただし，プレゼントはすべて異なるとする。プレゼントの交換は次の手順で行う。

交換の結果，1 人でも自分の持参したプレゼントを受け取った場合は，交換をやり直す。そして，全員が自分以外の人の持参したプレゼントを受け取ったところで交換会を終了する。
(1) 2 人または 3 人で交換会を開く場合を考える。

(i) 2 人で交換会を開く場合，1 回目の交換で交換会が終了するプレゼントの受け取り方は $\boxed{\enspace\textsf{ア}\enspace}$ 通りある。したがって，1 回目の交換で交換会が終了する確率は $\cfrac{\boxed{\enspace\textsf{イ}\enspace}}{\boxed{\enspace\textsf{ウ}\enspace}}$ である。

(ii) 3 人で交換会を開く場合，1 回目の交換で交換会が終了するプレゼントの受け取り方は $\boxed{\enspace\textsf{エ}\enspace}$ 通りある。したがって，1 回目の交換で交換会が終了する確率は $\cfrac{\boxed{\enspace\textsf{オ}\enspace}}{\boxed{\enspace\textsf{カ}\enspace}}$ である。

(iii) 3 人で交換会を開く場合，4 回以下の交換で交換会が終了する確率は $\cfrac{\boxed{\enspace\textsf{キク}\enspace}}{\boxed{\enspace\textsf{ケコ}\enspace}}$ である。

(2) 4 人で交換会を開く場合，1 回目の交換で交換会が終了する確率を次の構想に基づいて求めてみよう。

1 回目の交換で，4 人のうち，ちょうど 1 人が自分の持参したプレゼントを受け取る場合は $\boxed{\enspace\textsf{サ}\enspace}$ 通りあり，ちょうど 2 人が自分のプレゼントを受け取る場合は $\boxed{\enspace\textsf{シ}\enspace}$ 通りある。このように考えていくと，1 回目のプレゼントの受け取り方のうち，1 回目の交換で交換会が終了しない受け取り方の総数は $\boxed{\enspace\textsf{スセ}\enspace}$ である。

したがって，1 回目の交換で交換会が終了する確率は $\cfrac{\boxed{\enspace\textsf{ソ}\enspace}}{\boxed{\enspace\textsf{タ}\enspace}}$ である。

(3) 5 人で交換会を開く場合，1 回目の交換で交換会が終了する確率は $\cfrac{\boxed{\enspace\textsf{ソタ}\enspace}}{\boxed{\enspace\textsf{チツ}\enspace}}$ である。

(4) A，B，C，D，E の 5 人が交換会を開く。1 回目の交換で A，B，C，D がそれぞれ自分以外の人の持参したプレゼントを受け取ったとき，その回で交換会が終了する条件付き確率は $\cfrac{\boxed{\enspace\textsf{ナニ}\enspace}}{\boxed{\enspace\textsf{ヌネ}\enspace}}$ である。