【スマホで読む・わかりやすい】共通テスト数学IA2021第2日程【解説・正解・問題】

第1問　正解

アイ,ウエ　－2,－1　又は　－1,－2
オ　8　カ　3　キ　8　クケ　90
コ　4　サ　4　シ　1　ス　1　セ　0
ソ　0　タ　3　チ,ツ　4,5　テ　5

〔1〕(1)

$|ax-b-7|<3$ ・・・① として

$a=-3,b=-2$ とすると，①は

$|-3x+2-7|<3$
$|-3x-5|<3$
$-3<-3x-5<3$
$2<-3x<8$
$-\cfrac{8}{3}<x<-\cfrac{2}{3}$

これに当てはまる整数 $x$ は $-1$ と $-2$

よって $P={-1,-2}$

・・・・・・アイ，ウエ

〔1〕(2)

$a=\cfrac{1}{\sqrt{2}}$ として

(i) $b=1$ のとき①は

$\Big|\cfrac{1}{\sqrt{2}}x-1-7\Big|<3$
$-3<\cfrac{1}{\sqrt{2}}x-8<3$
$5<\cfrac{x}{\sqrt{2}}<11$

不等式に平方根があると範囲を求めることができないので，辺々を2乗して平方根を無くすことを考えると良い。

$25<\cfrac{x^2}{2}<121$
$50<x^2<242$

これに当てはまる $x$ を考えると，$8^2=64$，$15^2=225$ だから，①を満たす整数は 8 から 15 までの 8 個である。

・・・オ

(ii)

①を満たす整数が 9 個のとき

$\Big|\cfrac{1}{\sqrt{2}}x-b-7\Big|<3$
$-3<\cfrac{1}{\sqrt{2}}-b-7<3$
$4<\cfrac{1}{\sqrt{2}}x-b<10$
$4+b<\cfrac{x}{\sqrt{2}}<10+b$

辺々を 2 乗して

$(4+b)^2<\cfrac{x^2}{2}<(10+b)^2$
$2(4+b)^2<x^2<2(10+b)^2$

$b=2$ のとき

$2\times6^2<x^2<2\times14^2$
$72<x^2<288$

$9^2=81$，$16^2=256$ より，①を満たす整数は 9 から 16 までの 8 個。よって，不適。

$b=3$ のとき 

$2\times7^2<x^2<2\times13^2$
$98<x^2<338$

$10^2=100$，$18^2=324$ より，①を満たす整数は 10 から 18 までの 9 個。これは，問題文に適する。

したがって正の整数 $b$ のうち，最小のものは 3 である。

・・・カ

〔2〕(1)

正弦定理より

$2R=\cfrac{\text{AB}}{\sin\angle\text{APB}}=\cfrac{8}{\sin\angle\text{APB}}$

・・・キ

$R=\cfrac{4}{\sin\angle\text{APB}}$

$\sin$ が最大のとき，$R$ は最小となる。$\sin$ は $-1$ から $1$ までのいずれかの値をとるので，$\sin\angle\text{APB}=1$ のとき $\angle\text{APB}=90\degree$ であり

$R=\cfrac{4}{1}=4$ 

となる。

・・・クケ，コ

〔2〕(2)

直線 $\ell$ が円 $C$ と共有点を持つのは $h\leqq4$ のときである。

・・・サ

(i) $h\leqq4$ のとき

直線 AB は直径だから，△ABP は直角三角形である。

・・・シ

(ii) $h>4$ のとき

円周角の定理より

$\angle\text{AP}_3\text{B}=\angle\text{AP}_2\text{B}$

・・・ス

また，$\angle\text{AP}_3\text{B}<\angle\text{AP}_1\text{B}<90\degree$ より

$\sin\angle\text{AP}_3\text{B}<\sin\angle\text{AP}_1\text{B}$

つまり

$\sin\angle\text{AP}_2\text{B}<\sin\angle\text{AP}_1\text{B}$

・・・セ

(1)で述べたように，$\sin$ の値が大きいほど，外接円の半径は小さくなるので

(△$\text{ABP}_1$の外接円の半径)＜(△$\text{ABP}_2$の外接円の半径)

である。

・・・ソ

これを基に考えると，直線 $\ell$ 上の点のうち，外接円の半径が最も小さくなるのは，直線 $m$ との交点 $\text{P}_1$ のときである。

したがって，$R$ が最小となる△ABPは二等辺三角形である。

・・・タ

〔2〕(3)

$\sin\angle\text{APB}$ を求めるには，まず，AP，BP の長さを求め，余弦定理を用いて $\cos\angle\text{APB}$ を求める。$\cos$ の値が分かれば $\sin$ の値を求めることができる。

△AOP について，三平方の定理より

$\text{AP}=\sqrt{4^2+8^2}$
$=\sqrt{80}=4\sqrt{5}$

また，△ABPは二等辺三角形だから

 $\text{AP}=\text{BP}=4\sqrt{5}$

余弦定理より

$8^2=(4\sqrt{5})^2+(4\sqrt{5})^2-2\cdot4\sqrt{5}\cdot4\sqrt{5}\cos\angle\text{APB}$
$64=80+80-160\cos\angle\text{APB}$
$160\cos\angle\text{APB}=96$
$\cos\angle\text{APB}=\cfrac{96}{160}=\cfrac{3}{5}$

公式 $\sin^2x+\cos^2x=1$ より

$\sin^2\angle\text{APB}+\Big(\cfrac{3}{5}\Big)^2=1$
$\sin^2\angle\text{APB}=1-\cfrac{9}{25}=\cfrac{16}{25}$

$0\degree<\angle\text{APB}<90\degree$ より，$0<\sin\angle\text{APB}<1$ だから

$\sin\angle\text{APB}=\cfrac{4}{5}$

・・・チ，ツ

正弦定理より

$2R=\cfrac{\space8\space}{\cfrac{4}{5}}=\cfrac{8\times5}{\cfrac{4}{5}\times5}$
$=\cfrac{40}{4}=10$
$R=5$

・・・テ

問題文

第1問 (必答問題)
〔1〕 $a$，$b$ を定数とするとき，$x$ についての不等式

$|ax-b-7|<3$ ・・・・・・①

を考える。

(1) $a=-3$，$b=-2$ とする。①を満たす整数全体の集合を $P$ とする。この集合 $P$ を，要素を書き並べて表すと

$P=\{\boxed{\sf{アイ}},\space\boxed{\sf{ウエ}}\}$

となる。ただし，$\boxed{\text{アイ}}$，$\boxed{\text{ウエ}}$ の解答の順序は問わない。

(2) $a=\cfrac{1}{\sqrt{2}}$ とする。

(i) $b=1$ のとき，①を満たす整数は全部で$\boxed{\sf{オ}}$個である。

(ii) ①を満たす整数が全部で$(\boxed{\text{オ}}+1)$個であるような正の整数 $b$ のうち，最小のものは$\boxed{\sf{カ}}$である。

〔2〕 平面上に 2 点 A，B があり，AB = 8 である。直線 AB 上にない点 P をとり，△ABP をつくり，その外接円の半径を $R$ とする。

太郎さんは，図 1 のように，コンピュータソフトを使って点 P をいろいろな位置にとった。

図 1 は，点 P をいろいろな位置にとったときの △ABP の外接円をかいたものである。

図1

(1) 太郎さんは，点 P のとり方によって外接円の半径が異なることに気づき，次の問題1を考えることにした。

問題1 点 P をいろいろな位置にとるとき，外接円の半径 $R$ が最小となる △ABP はどのような三角形か。

正弦定理により，$2R=\cfrac{\boxed{\sf{キ}}}{\sin\angle\text{APB}}$ である。よって，$R$ が最小となるのは $\angle\text{APB}=\boxed{\sf{クケ}}\degree$ の三角形である。このとき，$R=\boxed{\sf{コ}}$である。

(2) 太郎さんは，図2のように，問題1の点 P のとり方に条件を付けて，次の問題2を考えた。

問題2　直線 AB に平行な直線を $\ell$ とし，直線 $\ell$ 上で点 P をいろいろな位置にとる。このとき，外接円の半径 $R$ が最小となる △ABP はどのような三角形か。

図2

太郎さんは，この問題を解決するために，次の構想を立てた。

問題2の解決の構想 

問題1の考察から，線分 AB を直径とする円を C とし，円 C に着目する。直線 $\ell$ は，その位置によって，円 C と共有点をもつ場合ともたない場合があるので，それぞれの場合に分けて考える。

直線 AB と直線 $\ell$ との距離を $h$ とする。直線 $\ell$ が円 C と共有点をもつ場合は，$h\leqq\boxed{\sf{サ}}$ のときであり，共有点をもたない場合は，$h>\boxed{\text{サ}}$ のときである。

(i) $h\leqq\boxed{\text{サ}}$ のとき

直線 $\ell$ が円 C と共有点をもつので，$R$ が最小となる △ABP は，$h<\boxed{\text{サ}}$ のとき $\boxed{\boxed{\sf{シ}}}$ であり，$h=\boxed{\text{サ}}$ のとき直角二等辺三角形である。

(ii) $h>\boxed{\text{サ}}$ のとき

線分 AB の垂直二等分線を $m$ とし，直線 $m$ と直線 $\ell$ との交点を $\text{P}_1$ とする。直線 $\ell$ 上にあり点 $\text{P}_1$ とは異なる点を $\text{P}_2$ とするとき $\sin\angle\text{AP}_1\text{B}$ と $\sin\angle\text{AP}_2\text{B}$ の大小を考える。

△$\text{ABP}_2$ の外接円と直線 $m$ との共有点のうち，直線 AB に関して点 $\text{P}_2$ と同じ側にある点を $\text{P}_3$ とすると，$\angle\text{AP}_3\text{B}\boxed{\boxed{\sf{セ}}}\sin\angle\text{AP}_1\text{B}$ である。このとき

(△$\text{ABP}_1$ の外接円の半径) $\boxed{\boxed{\sf{ソ}}}$ (△$\text{ABP}_2$ の外接円の半径)
であり，$R$ が最小となる △ABP は $\boxed{\boxed{\sf{タ}}}$ である。

$\boxed{\boxed{\text{シ}}}$，$\boxed{\boxed{\text{タ}}}$ については，最も適当なものを，次の⓪～④のうちから一つずつ選べ。ただし，同じものを繰り返し選んでもよい。

⓪ 鈍角三角形　① 直角三角形
② 正三角形　③ 二等辺三角形
④ 直角二等辺三角形 

$\boxed{\boxed{\text{ス}}}$～$\boxed{\boxed{\text{ソ}}}$ の解答群(同じものを繰り返し選んでもよい。) 

⓪ $<$　① $=$　② $>$

(3) 問題2の考察を振り返って，$h=8$ のとき，△ABP の外接円の半径 $R$ が最小である場合について考える。このとき，$\sin\angle\text{APB}=\cfrac{\boxed{\sf{チ}}}{\boxed{\sf{ツ}}}$ であり，$R=\boxed{\sf{テ}}$ である。