【スマホで読む・わかりやすい】共通テスト数学IA2021第2日程【解説・正解・問題】

第3問　正解

アイ,ウエ　11,12　オカ,キク　17,24
ケ,コサ　9,17　シ,ス　1,3　セ,ソ　1,2
タチ,ツテ　17,36　トナ,ニヌ　12,17

(1)(i)

箱の中の2個の球のうち

・1個が赤球のとき

(A,B)=(赤,白)または(白,赤)のときだから

$\cfrac{2}{3}\times\cfrac{1}{4}+\cfrac{1}{3}\times\cfrac{3}{4}=\cfrac{5}{12}$

・2個とも赤球のとき

(A,B)=(赤,赤) のときだから

$\cfrac{2}{3}\times\cfrac{3}{4}=\cfrac{1}{2}$

したがって，箱の中の2個の球のうち少なくとも1個が赤球である確率は

$\cfrac{5}{12}+\cfrac{1}{2}=\cfrac{11}{12}$

・・・アイ，ウエ

(1)(ii)

箱の中の2個の球のうち

・1個が赤球で，取り出した球が赤球のとき

$\cfrac{5}{12}\times\cfrac{1}{2}=\cfrac{5}{24}$

・2個とも赤球で，取り出した球が赤球のとき

$\cfrac{1}{2}\times1=\cfrac{1}{2}$

したがって，取り出した球が赤球である確率は

$\cfrac{5}{24}+\cfrac{1}{2}=\cfrac{17}{24}$

・・・オカ，キク

取り出した球が赤球であったときに，それが B の袋に入っていたものである条件付き確率を求めると
分子は，(A,B)=(白,赤)かつBの袋に入っていた赤球を取り出す確率と，(A,B)=(赤,赤)かつBの袋に入っていた赤球を取り出す確率の合計である。

$\cfrac{1}{3}\times\cfrac{3}{4}\times\cfrac{1}{2}+\cfrac{2}{3}\times\cfrac{3}{4}\times\cfrac{1}{2}$
$=\cfrac{1}{8}+\cfrac{1}{4}=\cfrac{3}{8}$

したがって条件付き確率は

$\cfrac{\cfrac{3}{8}}{\space\cfrac{17}{24}\space}=\cfrac{\cfrac{3}{8}\times24}{\space\cfrac{17}{24}\times24\space}$
$=\cfrac{9}{17}$

・・・ケ，コサ

(2)(i)

それぞれの袋には白球は1個しかない。A，Bの袋から球をそれぞれ2個ずつ取り出すとき，たとえばAから赤と赤，Bから白と白のような取り出し方はできない。

つまり，箱の中の4個の球のうち，ちょうど2個が赤球となるのは，Aから赤と白，Bから赤と白を取り出すときのみである。

$\cfrac{_2C_1\times1}{_3C_2}\times\cfrac{_3C_1\times1}{_4C_2}=\cfrac{2}{3}\times\cfrac{3}{6}$
$=\cfrac{1}{3}$

・・・シ，ス

次に，ちょうど3個が赤球である確率を求める。

・Aから赤と赤，Bから赤と白を取り出すとき

$\cfrac{_2C_2}{_3C_2}\times\cfrac{_3C_1\times1}{_4C_2}=\cfrac{1}{3}\times\cfrac{3}{6}$
$=\cfrac{1}{6}$

・Aから赤と白，Bから赤と赤を取り出すとき

$\cfrac{_2C_1\times1}{_3C_2}\times\cfrac{_3C_2}{_4C_2}=\cfrac{2}{3}\times\cfrac{3}{6}$
$=\cfrac{1}{3}$

したがって，求める確率は

$\cfrac{1}{6}+\cfrac{1}{3}=\cfrac{1}{2}$

・・・セ，ソ

(2)(ii)

さらに，箱の中の4個の球のうち，4個すべてが赤球である確率を求める。このとき，Aから赤と赤，Bから赤と赤を取り出すので

$\cfrac{_2C_2}{_3C_2}\times\cfrac{_3C_2}{_4C_2}=\cfrac{1}{3}\times\cfrac{3}{6}$
$=\cfrac{1}{6}$

箱の中の4個の球から赤球を2個取り出すとき

・箱の中の球が赤球2個のとき

$\cfrac{1}{3}\times\cfrac{_2C_2}{_4C_2}=\cfrac{1}{3}\times\cfrac{3}{6}$
$=\cfrac{1}{18}$

・箱の中の球が赤球3個のとき

$\cfrac{1}{2}\times\cfrac{_3C_2}{_4C_2}=\cfrac{1}{2}\times\cfrac{3}{6}$
$=\cfrac{1}{4}$

・箱の中の球が赤球4個のとき

$\cfrac{1}{6}\times\cfrac{_4C_2}{_4C_2}=\cfrac{1}{6}$

したがって，求める確率は

$\cfrac{1}{18}+\cfrac{1}{4}+\cfrac{1}{6}=\cfrac{17}{36}$

・・・タチ，ツテ

さらに，取り出した2個の球がどちらも赤球であったときに，それらのうちの1個のみがBの袋に入っていたものである条件付き確率を求める。

・箱の中の赤球が2個のとき

そのうち1個はAから，1個はBから取り出したものだから，その確率は $\cfrac{1}{3}$ である。

・箱の中の赤球が3個のとき

そのうち2個をAから取り出し，1個をBから取り出したとする。その上で，箱の中の4個の球から，Aから取り出した赤球を1個，Bから取り出した赤球を1個取り出す確率は

$\cfrac{1}{6}\times\cfrac{_2C_1\times1}{_3C_2}=\cfrac{1}{6}\times\cfrac{2}{3}$
$=\cfrac{1}{9}$

また，1個をAから取り出し，2個をBから取り出したとすると

$\cfrac{1}{3}\times\cfrac{1\times_2C_1}{_3C_2}=\cfrac{1}{3}\times\cfrac{2}{3}$
$=\cfrac{2}{9}$

したがって

$\cfrac{1}{9}+\cfrac{2}{9}=\cfrac{1}{3}$

・箱の中の赤球が4個のとき

そのうち2個はAから取り出し，2個はBから取り出したものだから

$\cfrac{1}{6}\times\cfrac{_2C_1\times_2C_1}{_4C_2}=\cfrac{1}{6}\times\cfrac{2\times2}{6}$
$=\cfrac{1}{9}$

上のそれぞれの条件において，そこから赤球を2個取り出す確率を求めると

$\cfrac{1}{3}\times\cfrac{_2C_2}{_4C_2}+\cfrac{1}{3}\times\cfrac{_3C_2}{_4C_2}+\cfrac{1}{9}\times\cfrac{_4C_2}{_4C_2}$
$=\cfrac{1}{3}\times\cfrac{1}{6}+\cfrac{1}{3}\times\cfrac{3}{6}+\cfrac{1}{9}\times1$
$=\cfrac{1}{3}$

したがって，条件付き確率は

$\cfrac{\cfrac{1}{3}}{\space\cfrac{17}{36}\space}=\cfrac{\cfrac{1}{3}\times36}{\space\cfrac{17}{36}\times36\space}$
$=\cfrac{12}{17}$

・・・トナ，ニヌ

問題文

第3問～第5問は，いずれか2問を選択し，解答しなさい。 

第3問　(選択問題)

二つの袋 A，B と一つの箱がある。A の袋には赤球 2 個と白球 1 個が入っており，B の袋には赤球 3 個と白球 1 個が入っている。また，箱には何も入っていない。

(1) A，B の袋から球をそれぞれ 1 個ずつ同時に取り出し，球の色を調べずに箱に入れる。

(i) 箱の中の 2 個の球のうち少なくとも 1 個が赤球である確率は $\cfrac{\boxed{\sf{アイ}}}{\boxed{\sf{ウエ}}}$ である。

(ii) 箱の中をよくかき混ぜてから球を 1 個取り出すとき，取り出した球が赤球である確率は $\cfrac{\boxed{\sf{オカ}}}{\boxed{\sf{キク}}}$ であり，取り出した球が赤球であったときに，それが B の袋に入っていたものである条件付き確率は $\cfrac{\boxed{\sf{ケ}}}{\boxed{\sf{コサ}}}$ ある。

(2) A，B の袋から球をそれぞれ 2 個ずつ同時に取り出し，球の色を調べずに箱に入れる。

(i) 箱の中の 4 個の球のうち，ちょうど 2 個が赤球である確率は $\cfrac{\boxed{\sf{シ}}}{\boxed{\sf{ス}}}$ である。また，箱の中の 4 個の球のうち，ちょうど 3 個が赤球である確率は $\cfrac{\boxed{\sf{セ}}}{\boxed{\sf{ソ}}}$　である。

(ii) 箱の中をよくかき混ぜてから球を 2 個同時に取り出すとき，どちらの球も赤球である確率は $\cfrac{\boxed{\sf{タチ}}}{\boxed{\sf{ツテ}}}$ である。また，取り出した 2 個の球がどちらも赤球であったときに，それらのうちの 1 個のみが B の袋に入っていたものである条件付き確率は $\cfrac{\boxed{\sf{トナ}}}{\boxed{\sf{ニヌ}}}$ である。